Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
/>Г2)_ ri) о."> dr *е
^ У в '*1+ <г
о. у.
го га) гг)
это значит, что если мы имеем 0.^ , йп. и , то мы можем построить новое
решение посредством лишь алгебраических вычислений. Вместо <2^ мы можем
исходить из &.'? или (1С^ или даже <1с^г) и получать другие решения
алгебраически, делая последовательные преобразования. Однако в
действительности вычисления будут становиться все более и более оложными.
Например, исходим из
af""rr" = w. <>¦>¦">
Покажем процедуру получения двухсолитонного решения U ^ Обобщая
(3.9.18а), введем Q^> и <2^' как
е - х
^ /'j ^ П.41)
" (21 , (2) , ,
<2-я.
е ~ 2 . ,
р2 С -ПУЛ)
(3. 9. 2<9)
112
Тогда, согласно (3.9.26), получим
П 2>_ у- (1>2) 'Р-п.
Г = 5^2 , (3.9.29)
где
-f^=fz (n)fi (n+^-fi ('n-)fz(-n+i)p (3. 9. So)
или?в другой форме,
/-а,!)
(0-ъ+л~(r)-п х (3.9.33)
-г п+Л
Таким образом,
Член, линейннй по ?г,
М:зх) Для из (3.9.18а) получим +л(п)=2 ?>* сА[('п.-±)хй*р:1 (+сГл] =
-пэе^-рА r "-&*+Pi? (3.9.33а.)
= й_,е +uie )
ГД6 А ГР^
ъ\-&±С^ е a-J~- е**, /\, = (з.з.зза)
fz Ы=2 D2 сЛ[(n-i)*2 +fiz ±+^] =
.(3.9 з^а.)
гле a I-'
К-ВЛ, е X-i^, р.-оЛх.. 0.4W
Затем получим двухсолитонное решение в виде fn = 2^ сА,[(п-л)(хл +эег ) +
(рл +Ръ \t -"Г* ] +
+ 2D- сЛ[(п-1)(зе2 -зей )f(p2 -р^Ъ +Л ]р (з. 9. Л*.)
нз
где
, 2D. =-f Pi?>z 3&2(3?i+x2),
L ^ ^ ,*) (3'133^
Г ~~ вл&2 e
\e2^ = - Cl d* ;
Bj Bx
(3.9.35a) является одной из форм двухсолитонного решения (2.5Л). Чтобы в
Q^a) отсутствовали антшсолитоны, JQ+ и XL должны ишеть одинаковые знаки
(вещественные и оба положительные), а значит, Х>л и ,Ъг имеют
противоположные знаки. Таким образом, мы имеем собственное двухсолитонное
решение, когда одно из 0.'^ и С/Д' является солитонным решением, а другое
- антшсолито.нным. Такая же ситуация возникает, когда мы применяем
преобразование Бэклунда к уравнению КдВ, и это - общее свойство
преобразования. Получить конкретное выражение для многосолитонного
решения таким путем весьма трудно.
Формально мы можем пользоваться другим методом [ЗЛО].
Обобщая (3.9.18а), положим
_а'-, <a**Q"a)/2 *(¦*-*) (З.Э.Н)
е -е f(n)
и, подставляя зто в (3.9.16) (Л= -I, J. = -(х + х*4)), получим
(з.9. 39)
где
if =~д . Сз.9.зг)
и ?ь~ 2 > **- 2 ^
Таким образом, мы видим, что введенная функция **(ъ) удовлетворяет
уравнению (3.2.16) метода обратной задачи расоеяния. Что каоается
эволюции Y(-n) во времени, то заметим, что уравнение
= ff е -е УД I />
I С 3.9.33)
которое получено из (3.9.16), с учетом (3.9.36) при Й = -1 дает
if (п-l) <f(-n) Ч>(п-1)
-:-------------------:
y(n-i) п+а f(n-i) л'-3 у(-п-х)
u>(n.) 4>(n-i)
+ а'ъ-1Ь>УГ^-?*'п-± ~.в,. . • (3.9.90)
<f(n) n. f(Tv) К'* Ч>Ы)
114
Следовательно,
у (п) = a, if(n-i) - а ^ ч> (п.+ л) + гС?) 4,(tb)> сз.э ы)
где F'(t)- множитель, не зависящий от rt; он отражает произвол в выборе
матрицы 5 в формализме Лэкса L t = 6L -LB7 поэтому мы можем положить F(t)
5 0. Таким образом,' мы можем получить новое решение Q ^ , найда
предварительно из известного решения Q.n величины и в^ и решая затем
уравнение (3.9.37, 41) для методой обратной задачи расоеяния. Эти
уравнения также дают связь между преобразованием Бэклунда и методом
обратной задачи рессеяния.
Ш. Теперь кратко рассмотрим дуальное преобразование Бэклунда для цепочки
с экспоненциальным взаимодействием [3.9]. Дуальная система строится для
переменных '<?п. и соответ-
ствующего сопряженного импульса . Подставляя соотношение Зтv'CLn.
(1.4.7) в (3.9.16), получаем
/ _ б п ( * ") ~ Q. -п+ л (г
-з п.- 1-П. - е , и > (3.9.92)
ап(г)-ап(г') _ IJ
О -72 ~ *3 ^ - &
(здесь для простоты мы положили f) =1). В данных уравнениях Q и, ("0 и
следует понимать соответственно как функ-
ции / X ; f И 1ъ'\. ИЛИ
й~ = (ъ) Xi ' (3 9. 93)
а'" =a,^(t')=?z v,j ,
где предположено, что дуальная цепочка простирается от j = -<=<=>,, а не
в конечной области j = 0~
Преобразование Бэклунда получено с использованием соотношений (2.2.14)
или
-(&*+* (F-a^c^) .
в J п. У
. (3.9. М)
-(а'п+* (z')-a^(r')) е -
Введем и У~
как
и, переписав левую часть (3.9.44) с учетом (3.9.42), получим
115
Г(/i^vп~ vn ww у
I . С3.9.К)
Данная форма преобразования Бэклунда была непосредственно получена в
работе [З.И]без использования (3.9.16).
Задача 3.9. Подставьте Q-n+i ~ ?^=07 &ъ=0 в (3.9.38), решите (3.9.37) для
if(-n) и получите таким образом солитонное решение (3.9.18а).
3.10. КОНЕЧНАЯ ЦЕПОЧКА
Мозер в работе Г3.7J раосмотрел цепочки из конечного числа частиц н - 0,
1, 2,..., М+ 1 с экспоненциальным взаимодействием, причем начало и конец
цепочки находятся на бесконечности и оба фикоированы, а именно
Поскольку в данном случае концы цепочки находятся на бесконечности, вклад
от второго олагаеного потенциала взаимодействия, которое равно сох,
отановитоя бесконечным. Однако, так как эта величина поотоянна, мы мохем
ее опустить/. Уравнения движения теперь содержат только слагаемое с
экспоненциальным отталкивани-ем [(&/€)&*?> (--?ъ)]г так что система
эквивалентна одномерной системе У частиц с экспоненциальным отталкиванием
