Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
= А(Л), (<<.2.2й)
откуда следует, что корни уравнения &z - 4 = 0 также инвариантны:
2j (k)=*j (0) = *j ¦ (<t.U2)
Теперь мы определим м . (к) из
J
^ />* 1, /tj ( к)1 к]-0. (tt.J.Ji)
Проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, подучим
-fj (к)~ ^2J + i *
однако в общем случае Аналогично (4.1.8) имеем
^ 0>*,я I к) = ~аК (л^ [я -('ZL4Jtk)x *-J*
К-J У-1
f и \ 1
Iл к П (ь.г.и)
I j** / 4--i
145
Следовательно, на основании соотношения
У 4 *4 *4, +-' + 4^*4 ? +4
Z- vjtk к+i к+2 л *?**. к+м-1 к+tf
Г*
= ёк*г + + "'* ** *** * '"+ **-* =
= Е <*"<** (м-т
4*1
запиием
?v**..'h nlk)-
1*4 Г1
С другой стороны, имеем (4.2.9), или
1Ы Л'
л-{ L *,-Е *г
J=* J-i
Таким образом, приходим к формуле
4ы'А-^/Ч{к>-
г1
Меняем нумерацию так, чтобы корень /<j (к) ( j =1, 2,..., J ) лекал между
простыми корнями; тогда
А Л, - f*j ( к-) - 0 ~ *>2> $ h
fij(k)=*ij.n-*;j+2 (j=r*> Г2*'¦'>*-*>¦
Используя эти определения, получаем важную формулу
<? , (tf.J.UO')
к+i /Vi
146
где
2Г2
л-1 И ¦
4.3. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ pj (к) И Д/ (о) '
В то время как корни Я j уравнения hx (Я)-^-О не зависят от времени,
каждый корень />j (к) будет осциллировать в интервале[Я^^, *jj+z] (j
=i,2,(о** раЗД- 4.6). Прежде чек отыскивать движение, отметим важное
соотношение между/'/ (к) и /^- (0) , а затем продолжим выяснять
соотношения между динамическими переменными (-п., ) ж pj ( к) в разд.
4.4, 6.
Функцию Блоха, определенную условием (4.1.16), можно записать, опуская
постоянный множитель, как
где сt /сА определяется из решения (4.1.17):
С* Я~У2 (^*-0 _ Vj Сл-)-У^ йг-Ч
с г V'j (1) 2^1 (/^+1)
(</. s. *)
или, иначе,
с* _ 24Z(M)
--------------------------- ----------------¦ г t (</.S.3.
Cz р-УйС*) -Vi (Л')+У2 (A-tl)t Уй* - */
Приравнивая эти два выражения, мы снова получаем (4.1.41). С
г
(<*. *.
147
другой стороны, используя (4.3.1, 2) и (4.1.41), приходим к
(n)4>' (tl) =
Т '
=---------------------Iff (А')-Ч'о (mWtfhJ*
*f[fVi (ъ)+2Уй (* *г ("¦)] =
= ^ (A'+ifJ'fj (nW2 (n)+Vi (/r,i)tf*(nl-Vt
'ti(Mtl) 1 7'
где для получения последней отроки равенства (4.3.4) мы использовали
(4.2.20) и (4.1.10, II). Заменяя п на п + 1, имеем
+ & о У* (*'+4\'П,)
if (n + i)tf (n + d) = -г- -¦ ------------ (9.S.S)
Далее, по определению /"• =Д/ (о) имеем У* ('*'+*)=0
при я =А_у- , когда в силу (4.1.41) числитель выражения
(4.3.2), в котором выбран знак плюс, имеет вид
(ьз.б)
я, вообще говоря, не обращается в нудь. Следовательно, </+(Vz4i) имеет
полюс при . С другой стороны, Yj (м+4)-п) обращается в
нуль при Я =/'/ так что из (4.3.5) видим, что
if~(n+d.) имеет нуль при Я - A1 j ( ^ • Подставляя к
вмеото тг, имеем
= Ч>~[(к)]~0. (*-•*¦ 9)
Можно рассматривать 4>*(к+з, я) и у~(к+1,я) как значения функции у (к+ d,
л) на двух листах римаиовой по-
148
верхности ? о разрезами вдоль интервалов между Я г _ ± и
*2j < j = I" 2* •••" ^ )• нул(r)и [&* (Л)-к!1/1. На
верхнем листе [йz (лу- </] 1/2 имеет значение ЧДг(я ) 'Ч , а на нижнем
листе - значение -(А2 С я ) - Ч . Таким образом, функция Блоха 'f (ki л,
л) имеет простые нули в течках /'j (к) и простые полюса в /<j(0) на
поверхности 5 и связывает их, как и ожидалось.
Функция f(k*d, я) имеет нуль и полюс на бесконечности на римановой
поверхности. В самом деле, для достаточно больших Я в силу соотношений
(и) ~ я /|Л~г, ^ ±
<fs(y+i)-~2.M':I, V* О'* 1)~Л м и й (я) = Чл(Л') + > Мх(ЛГ+1)~Им
Lff(k + it)~4't , Cf.s.s)
а с учетом (4.3.5, 8) и (4.2.26)
41(*-tl\k) _к
f( k+d)~ ^л(А'+±)^ (к'^)~я • (9.so)
Следовательно, Ч (к+ z) имеет полюс порядка к на бесконечности со (на
верхнем листе поверхности) и нуль порядка к на бесконечности "о' (на
нижнем листе поверхности).
Рассмотрим дифференциал
и (к)
=^-j^-?rv4'(k+l,A)Jclzi (9.3 Jo)
который имеет полюса в точках /* • (о) и Д, (к) с вычета-
ми соответственно +1 и -1 и полюса на "э и "' с вычетами соответственно
+к и -к [1.3J . Действительно, используя (4.3.1, 2), видим, что
ы(к)-Ь(яН}(*)('*-''У/г+ -Jp-уТ^]т^, ' ">
цде i(2\), ?(Я), к (Л) и F(A) являются некоторыми полиномами. Конкретные
выражения для них здесь не необходимы.
Так как мы имеем 2.%-t-к простых корней среди 2 А' корней
149
уравнения И3- (А) - 4 = 0, можем записать
- (Полином от , (Cf. 3.12л.)
где
2gtZ
R(a) = ft (я- Л J-)-г1
Введем дифференциал
- Я3а/я 1к(А)]1/г
и базис foj^ j гиперэллиптических фунстгий
-Тс UJ • (9.3J9)
^'.1 ./э (3)
4^0
Такие дифференциалы не имеют полюсов и называются абелевыми
дифференциалами первого рода (дифференциалы, имеющие полиса с нулевыми
вычетами, называют абелевыми дифференциалами второго рода, а если вычеты
ненулевые, - абелевыми дифференциалами третьего рода).
Базис называется нормированным дифференциалом первого рода, если
коэффициенты c/.j нормированы так, что
ox-V,
Jj
далее доложим
где J j есть замкнутый контур, окружающий разрез (Я 2j+± >
Я 2jtz) на верхнем листе, a Pj есть замкнутый контур, кото-
рый начинается из и вдет по нижнему листу до Я 2j-+i > затем пересекает
верхний лист и оканчивается в Az (рис, 4.3). w называется л-периодом, a
