Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
^('П) = 4>^(п,л)1 ('П') ~ (И-, Я '), (9.1.31)
имеем
(уУ)Ш Ч>± (п,л)Ч> (тг, Я ') =
птX
= (KA')-Ys f'K Я М (М+1, Я '). (9.1.3k)
Пусть Я стремитоя к Я/ ;шедем производные ' etVj,
* = ~7Х~'
1Э9
Тогда выражение для нормы имеет вид
¦МГ 'г'(п>~
= <Х"['*1 (^)v' (ЛГ*1)-Гл (/r+i)r'U')]' (<,. у. iS>)
Аналогичное выражение получается для у2 и для скалярного произведения У,
• . Еоли мы найдем из этих уравнений у/ (л'+i)
У** (#) и т.д. и затем подставим их в выражение для производной по Я от
&(Я), выраженной через (4.1.19), то получим
ZL WzW'tl (*¦)-[/у м-ъ (л,1)1 у (П)* (п)-о(* *•* 1 \
fa,,)
или, вспомнив (4.1.15),
ctD Ч>л(^+1) " Гг , (A'+i) 7-г
з?=-гт"? Н*(tm)---------------------------------------------~
Г- (9.1.9о)
t/(f* (Л'*!) 1
где с учетом (4.1.15) и (4.1.19) имеем Г (*-)-Ч>2 (У+1)]2+4 Кг (*)*1
(*'+!) =
= [tfi (АГ)*^х(^*л>Г~^ =
= йг~Ь. ^
Следовательно, при &2-i/<0 dl/dt будет иметь знак - Уг (ли). Если V*
(л*1) обращается в нуль при А2-1/* о, из (4.1.15) следует, ЧТО Чл(М)Уз
(*'*!)" 4 И ЧТО l&\=l'fs(*)-H/<fx(A')\z.l, а это противоречит исходному
предположению. Следовательно, Vi("y) не может обращаться в нуль при й2 ~
4 с 0. Другими словами, d&/ch\ может менять знак лишь в области йг Это
доказывает чередование точек спектра. Рис. 4.2 иллюстрирует возможное
соотношение между & (Я) и Л . Как уже упомина-лооь ранее, корни А2 - У "
0, т.е. Яй ,...,Л2у не завиоят от времени. Далее в разд. 4.6 будет
показано, что и оам дискриминант А (Я) йе зависит от времени.
Задача 4.1. Покажите, что
Ш=-± (я-ыъ (лг+*)>0(*~-*)-ЫмЯ'лМ (L*-Я1)*2,
140
где
Й =GL-4 в*2 а'#' ¦
4.2. дополнительный СПЕКТР
Несмотря на то "то полное число корней Я^ уравнения -4=0 (i.e. спектр)
равно ZJf и совпадает с числом динамических переменных и , мы не
можем определить
зти динамические переменные, даже если вое Aj известны. В самом деле,
можно показать, что не все Aj независимы (си. приложение В).
Следовательно, чтобы решить обратную задачу, наи необходимо иметь
дополнительную информацию. В качестве таковой можно использовать
дополнительный спектр //• [4.2, 3], который определяется наложением
граничных условий, отличающихся от соответствующих граничных условий для
Я j,
Определим дополнительный спектр />j как
Так как ^ - полином порядка А'-*, имеем A'-s корней для
f*j .В соответствии о определением имеем Vj (i,
IVi (°> ) = 1, но зто не существенно для определения ju- js
Так как из (4.2.1) и '(4.1.15) следует, что
*ех Гл;/>j) чг (л) = i, (*¦'¦ л
шз (4.-I.I9) имеем Таким образом,
Ia(k)I<*2, f
а это показывает, чтс /*j лежат в области неустойчивости. Все /<; простые
(см. приложение Г ) и расположены между Я >
* J
A>j *Л * V< (]Ч,г,:..,АГ-1). 0.1.S-)
141
Теперь, поскольку в силу (4.1.8) и (4.2.1)
Г, "~*.(па,У ["'¦'- (? ъу-**...]-
г-
tf-1
= -а,0(Ла,А Л (*-П\
V 1=1 1' J=i
получил соотношение
Е '/-? А/ >
Г1 -/¦'
('f.j
(ьлз)
которое можно переписать как
_/=* </-*
С другой стороны, сравнивая (4.1.29, 30), имеем
у ЗМ
Я, О-'--"
J'1
Таким образом, если все /¦ известны, ? определяется как
/ = Л " 23 Л; • Г
г* d
В случаях когда кривая й(л) пересекает кривые А(А)=± 2, имеем простые
корни, а когда она касается кривых А(я) -*2, имеем двукратно вырожденные
корни. Если A Zj- и Л 2j+^ совпадают (двукратно вырожденный корень), то
/>j также совпадает с ними (A zj "Aj . Если Я у и A 2j ц различны
(простые
корни), /сj расположен между ними (f j осциллирует во времени мегду A jj
и Я jj 7 как будет показано далее). В последующем рассмотрении простые
корни Я j будут играть центральную роль. Пусть число простых корней равно
2j+Z; изменим нумерацию простых корней
я двукратно вырожденных корней
и-;**,-,
Изменим также нумерацию //.;
V'/'V- 0-w>.
а дли вырожденных корней
*-*)¦ <*¦'¦*"> Используя эти определения, перепишем (4.2.10) в виде
j = i 2]*1
где
Л-7 Z
У-4
со •нл? • ( 9.1 19)
апЛ-1
Следовательно, если мы знаем дополнительный спектр ( J = I,
2......^ ), то можно получить . Аналогичные рассуждения
приводят к формуле для ¦? к , для этого надо лишь сдвинуть индексы -и- на
постоянную k f4.3j . Обозначим через y± (¦п. I к )= ул (п, Л I к) и Y2 (-
п I к ) = Yj (tl, д / к) решения уравнения
4(n-i\k)t4"kV(n\k) + an.k Y(n+*\k) = M(nlk\
(9.J.1S)
гоответствупцие граничным условиям
'ч.МОч, ^ги)
<fz(0ik) = 0, Чя(й1к)=1.
!ы можем выразить Yj Л* I к ) и Y2 (п I к) через
143
'f1 (-tv) и ч3(п) как (п I к ) = X* ^ (к + п,)+Р* Гг (к+ f2(lt 1^)=ЛгГа
(к*п)+рл^л (ktn). Для пь S О Н п. = I
Ъ"1хЧя(к)*рл Ч'г(к)>
1~<*г Vi (kti)+P* ^г (к**).
Следовательно, исклгаая р>± из первых двух уравнений, получает"
{fz(k-n)=^i [ч'1(к)У1(к+г)-Ъ (к-и) Гг (к)] = аК
Qsq ,
где мы использовали вронскиан У (4.1.14). Диалогично
и
а.
и
Р*~ CLK
W ¦ J ае
*-к z а. к
Рг ¦
1
Ш
Cl. 1.20)
Таким образом,
К, Ы!к)~ frz ((к*(tm))'?* (к+±УЧг (к+п)],
I (п (k)=~-f-^ (к)Ь (к*п)+Ъ (к)Ъ (!с+-п)].
1 0 t*
Несложно показать, что дискриминант является инвариантом Ш\к) = *1
(rHOtYt (АС^Ц к) =
