Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
('ZI"&l 'Aj ~ (Ь" /и )j '
продифференцируйте обе части по времени и предположите, что правая часть
(3.10.55) имеет место при k-'C-d.
З.И. КОНТИНУАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ,
Для волн, у которых амплитуда смещения мала по сравнению со оредним
расстоянием между частицами цепочки, т.е. для волн с большой длиной
волны, мы можем использовать континуальное приближение. Мы покажем, что
уравнения движения цепочки сводятоя к уравнению КдВ, если мы сохраним
лишь нелинейные члены низшего порядка, а метод обратной задачи рассеяния
для цепочки сводится к соответствующему методу для уравнения КдВ [3.56,
15, 16j.
Г. Для матриц L 1 8 имеем
(3.JJ. 1)
(ВЧ')-П,
Следовательно, если ввести в рассмотрение оператор сдвига е*д/Эп f (n) =
f (ъ*з.) (э.11.2)
и рассматривать п как непрерывную переменную, тс получится
Запишем формальные разложения
id/3-п. д аг * д3
[ап. - Z е 2 ( X /*
126
а 4л = Рп /-2; тогда ^ ^
+ (3.11.S)
д * (д * +г J-\-±- д'-.
\6л'дп + Т\Ъп " пдп/ (> <?*3
В дальнейшем мы остановимся на исследовании волн, распространяющихся
вправо. Введем систему координат J, которая движется вправо со скоростью
распространения волн бесконечно малой амплитуды ( с0 = 1),
перенормированное время Ъ , и новые переменные ( ?, т ) следующим
образом:
? = ?i-?, c = ^/^, ^Гз.Л'.б) Теперь уравнение дч>/Э6= Ву Да01
где б - перенормированная матрица б,
~ дь f °> д \
Таким образом, видно, что д/дТ содержит старшие производные или малые
величины, так что мы можем в данном приближении записать да 1 да и,
Р*." " ~3у~ + 1ч~ dv ~ х'п'~~ ~Т" ^3'Jd-э)
Третьим слагаемым в выражении для L (3.11.5) мы можем цренеб-речь как
малой величиной. Таким образом, используя (3.11.9), подучаем
I - L ^ _ JfL . j (з. л. м)
L~z ар г
а уравнение движения
Lt = 3L-LB <>¦"¦">
дает уравнение КдВ (дифференцирование обозначено индексами)
^ =6ttU. + (3.11.12)
Будем обозначать штрихом функции непрерывных переменных п и w в
континуальном приближении. Тогда в (3.4.19, 20) мы должны записать
эе.'('п, m)-X' (и,m)-fu} р(-п + 'т) = Р'(+ (з.и.13)
где А - среднее расстояние между частицами, причем A =dn--
127
В континуальном приближении уравнение ГЛ (3.4.21) сводится к
интегральному уравнению
/
а?
(п, 1Г))+Р'('n + 77?)+j ж'('П, n'JPfa '+'7")^'*' =0> (3.14.1<t)
71
а (3.4.22) принимает вид
Г _ d \lZ =ifF'f?п)+ Г 3t'(n,-n')F '(п'/ n)dn (з. и. 1S-)
[X Ы, rv)i ?
Если мы запишем далее
t=elk7 Zj=e~kJ7
771-t=?> (3.1d.J6)
F' (n + 77l)=P (l+Ъ), k'(-n,7r>)=k (}, г)} то ядро (3.4.19) примет вид
r($H;z= Xrk,o)efLlc v*i/rGfl*etk +
-
fUcf (o)e*kjv'kj (*}, (3-&-3V
J
где опущены члены высших порядков. Тогда уравнение И сводится
См*-**)
Из уравнения (3.11.15) следует, что
К($Л)~* = 4*Г{2$)+Т* ($Х)р(Ъ + 5№- (3.JJ.J9)
Вычитая из (3.11.19) соотнадпение (3.11.18), где сделана замена ^ -> ? ,
получаем
и, следовательно, из (3.6.26) имеем _ Г ГК(-п^)] 7*^
i~*(h f)
$-*)]. (З.Л.Л)
128
Таким образом, в этом приближении величина определяется из
Уравнения (3.11,17,18) и (3.II.22) хорошо известны в методе обратной
задачи рассеяния для уравнения КдВ [3.17] .
П. Уравнение Шредингера ?</'=ЯУ'> соответствующее уравнению КдВ, обычно
записывается в виде
Сравнивая (3.11.23) с уравнением, полученным из (3.II.I0), именно
Yf йх--т+-0***''>
\ d9 , ' (3-И.Л9)
Z + 7'1 ,
Я - z
можно найти связь между спектром д волн (например, солитонов)
распространяющихся вправо в цепочке^ и спектром уравнения КдВ. Для
связь дается соотношением
%=соб4л ^ " (з.л.гу)
(КдВ)
и так как я предполагается малым,
Таким образом, мы получим уравнение КдВ как континуальный предел
уравнения для волн, распространяющихся по цепочке вправо. Как уже
отмечалось ранее, мы можем рассмотреть цепочку с экспоненциальным
взаимодействием и измененными знаками &п аналогично проведенному
рассмотрению. В этом случае перёход к континуальному приближению дает
уравнение КдВ
и^+бисс^- и-^=о, (з.л.г?)
которое описывает волны, распространяющиеся влево, со спектром,
цриближенно( Я " - 4
IT. Обсудим коротко континуальное приближение для преобразования Бэклунда
[3.16] . Заметим сначала, что производная по времени переходит в д д
1 3
dt дъ,
129
Далее, разлагая <х'п в окрестности -п. и Qn в окрестности точки ты-з/z в
равенстве (3.9.16), где Я - -I, получаем
gfi-n. _ _1_ __________________
24 dZ дтг-
<1**
И
д&п+з/г 1 dCLnt-i/z _п , d&7v /л' _п , )2
-3^--W-Si-i J---*T+ta~ """¦*/-i 53&' * fa'-n
+ ±(I3jH.f.l.fa'~Q .)* C3.JZ.Z9)
4 ( J 2 ("я- иъ+л/г) дп
где предполагалось, что порядки величин следупцие:
Q.~?, д/д-п~?, д/д'С~?3, Сз.Ухзо)
? - малая вежчина; разложение велось до членов четвертого
порядка малости включительно. Уравнения (3.П.28)'и (3.11.29) разделяются
на уравнения порядка tz и уравнения порядка s* . Коли ввеотн
f Z & П + 1/2 ~ 'UZ (х, и ),
J (3.JJ.3J)
12а'п = ^'сх> т)у
где вместо тг- взята переменная х, слагаемне, пропорци-
ональные ?2 в (3.11.28 , 29), дают одно и то же уравнение:
v игх =2 (2-z)+(w'- иг)z /2 i (3. J*. 32)
производные обозначены здесь индексами. Что касается слагаемых,
