Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
= fn" фъ ). (3 f' J)
Величина w не зависит от гг. и является дискретным вронскианом
(умноженным наал), уже встречавшимся нам в (3.3.19). Таким образом, имеем
соотношение
*r = -i(±L(%-r*). (>'t>
Перепишем теперь W , воспользовавшись первым уравнением (3.7.2): ^ ^ -п-i
i'K-л Ф-п,+ An Ф-nfi * ^-п-Фп- ~ *Фп) fw ¦ О¦ 9. sr)
С другой стороны, умножив первое уравнение (3.7.2) на ,
получим
Ъ*-А-п-л tm +(*'*Ап+л+*-п,Фп,-*Фт*)Ф'т =0> (2' 7' ^
а умножив второе уравнение на ф -
Л-*-, tn-* Ф-m ' An -tMtn = О- А 7 ^
Таким образом, если мы введем определение
(-П =?¦ тп)}
(3. ?. *)
гсг
то (3.7.5) примет вид
Я'п-! ап-1, Ъ + ^ = С3- 7 S)
а (3.7.6) для w-J г-гг? и (3.7.7) для n+i*(tm) можно будет объединить:
Л*-* С*, т" + *п = 0 А*
(3.9. JO)
96
В свою очередь эти соотношении нежно представить в виде
Щ ^-пп' ^n'ni ^ ^-n,in ~ ^тт/г) (3. 7. 11)
'Н
или, в матричной форме,
а-япя*?,
где I - единичная патрица. Таким образом, видно, что Сг - это функция
Грина оператора L -Я 7.
Возвращаясь к (3.7.1), обозначим 'п. -компоненту индексом.
'П, и получим '
(l-M)tl^O, Я= ^ (3.7.13)
Если мы продифференцируем зто уравнение по 1 , то
(1-я1)Ип,*аъ-з. +".л¦+ + rv+±"Т"(3-Л 19)
(in = di'^ /с/i и т.д.).
Полученное уравнение умножим на и прибавим к нему уравнение (1-Я1)ф \^ =
iXK-i<Pn-i+a''n + (3.7.15)
умноженное на ; тогда
7/ -U - . 4~Л- и, ф (3.S7.16)
<1 ft Z. 'П- 'и. 7
где
= Ф-гг+1 ^п- • (3' *
Далее, проведем суммирование пс П- от -Ж+ I до /Л
? *^=-^-(уг-у:г). <з.>.и>
Ог"-/f+d. *- •*
Используя зависимости (3.3.1 - 4), получим опенку для ж^.1:
,97
{-PI*"* [-ЛЧ(ЛГЦ) 2 '¦'Jjtft'i -JU j t
V^-ih г1"'2 *b I*--*)*'1]*},
где ±=J. в силу (3.3.6). Таким образом, при
ЫЫ 1
и при J3-"i имеем
П--К+1
Теперь обозначим через Ь0 значение Z при (С^ = 1/2 а через GB -
соответствующее значение <* . Тогда
^•71+т
(п-
(ft 2Г -Ую) у
О ) г<^'
где
ъ-г'* П=-F"'
Обращая (3.7.12)^ запишем резольвенту в виде
а = ТглТ?/?я >
Сумма диагональннх элементов равна $р(Кя-^)в? [GCz, m)-G°(г, 7П,
гг,)]-.
7П--<*=>
= ZZ Г А(^,УГ,)Ф (Z, m) 1 7 ^
'7И--<=> L 'и/' J
(3.9.19)
(3. 9 Зо) (3. 7. и ?= О,
/7. 7
/7. 7 77/ (3. 7.
98
=zz
¦?П=-СХ>
I
f (11ГГ>)ф(117П)-
г-г
-У-
(z -l)jL (z) ИЛ->"з 7r)=-Wi-i 2tz
lz-l J.(Z)
J
d%
здесь мы воспользовались (3.7.21).
Чтобы проинтегрировать (3.7.25), разложим левую часть равенства по
степеням ЯГ*'
г* (/ ? ^ ^ f, ^ О о
=-jSF -¦
я^ я
Интегрируя (3.7.25) по Л от -"о до Я " получаем
_F-- Sp (ir-L^!=2k <г\ . (jr.w)
Г*г < ' ¦Lh>
Как мы видим из (3.5.8), J.('Z) не зависит от времени. Следовательно,
коэффициенты при Я"'*' в разложении 4п>1 (Z) дают сохраняющиеся величины
SpfLF-L^}. Коэффициенты в разло-
жении inJ-C^L) по степеням % также являются сохраняющимися величинами.
Это можно непосредственно показать следующим образом. Воспользуемся
формулой Пуассона-Йеноена:
(3.1.2S)
99
которая имеет место для 111 i . Здесь Z ¦ (j = 1,2,..., М) являются
нулями Л (2) . ? интервале -У< Z *1 коэффициент
U(z) веществен^ так что Jn, U (z)l~tn,u (z). Для tz/=l из (3.3.10) имеем
U(z)l'2 = 1-1"(*)1г-
Следовательно, если мы перепииеи левую часть равенства (3.7.28) в виде
кг*г> <з-¦*'**>
г-*
тоКр будут сохраняющимися величинами, спределяющимися из разложения
правой части равенстна (3.7.28)
2гг
К =--^U^(i-\R(e;v)\z)c^(r^)dn
10 С 3 (1.1.3J)
В правой части данного равенства первый член соответствует непрерывному
спектру, а второй - дискретному.
Задача 3.4. Используя равенство Я = (Z+ 2~й)/2, из (3.7.27) можно
получить соотношение
Убедитесь, что сохраняющиеся величины, определяемые коэффициентами
разложения, равны
ZSrft-L2, Е,
где Р- полный импульс, а ? - полная энергия:
100
Указание:
-i 2. г " / г \
d+z
Задача .о. Для солитона [ср. разд. 3.6 {'Задача 3.1 )]
сl(z'=. Zj~Z
i-z*i
Используя это равенство ж результаты предыдущей задачи, покажите, что
2эе-
Это соответственно эквивалентно коэффициентам -К1 и К^.
Замечание. Энергия солитона, определенная в разд. 2.4 (задача 2.9),
включает вклад (-2а- /6 ) X за счет слагаемого хг , описывающего
притяжение в потенциале решетки.
3.8. ОБОЩЕИИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И СИСТЕМА .КАЦА - МЁРБЕКЕ
Мы видели, что если матрица Д в формализме Лэкса имеет только
диагональные и перше элементы около диагонали, а матрица В имеет только
перше элементы около диагонали, то такая система описывает цепочку с
экспоненциальным взаимодействием. Данный выбор L и б- простейший. Мы
можем сохранить L и усложнить В. В этом случае BL - L & должно иметь
только диагональные или первые околодиагснальиые элементы, так же как L и
dL/dt- . Для простоты предположим, что элементы в верхнем и нижнем левом
углах равны нулю, не задумываясь пока над вопросом, какая механическая
система этому соответствует (ср. разд. 3.10). Пусть L имеет вид
-б, сь.
(3.S.1)
X,
101
и пусть
о Pi.
-Pi о Pz Yz О
-r* -pz 0.
(3. "Р. 2)
Тогда требование, что (к - 1,к + 2)-й элемент матрицы ВЯЬ~ЬВ^ должен
обращаться в нуль, приводит к условию ~
