Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тода М. -> "Теория нелинейных решеток" -> 23

Теория нелинейных решеток - Тода М.

Тода М. Теория нелинейных решеток — Высшая школа, 1984. — 262 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaneleneynihreshetok1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 52 >> Следующая

Если предположить, что элементы fk отличны от нуля, то они должны
удовлетворять условию
Аналогично из условия обращения в нуль (к - 1,к+ 1)-го элемента получим
соотновение я* Рк-й+Гк-л ?*> и это
удовлетворяется условием [3.7J:
В этом случае движение также является изосшктралышм и интегрируемым, хотя
мы не можем дать какой-либо механической интерпретации соответствующим
уравнениям движения. Мозер [3.7] доказал существование матрицы , которая
имеет элементы вплоть до f>-ro околодиагонального элемента.
Для упрощения положим О, тогда
(3.*. 1)
РК = + 4к+й )а-к .
(3.S.-3')
" 0 0 А А ¦
0 0 0 iz°Li 0
0 0 9 " (i.S.S)
Л 0 0 "А-г А-*
0 0 0 0
-л А " 0 0
77-2 П~Л
В этом случае из уравнения движения
dZ 'Л (3.J. (,)
следует, что
j- к "A (U k+i~ 4 ) к-± / * (з. g. ?
Если мы положим
Л -?UK/2
и к - е >
то получим
LL
и*'Не
Если далее записать
'¦m-i

).

к-*
a. g. s)
(з.г9)
(3.S.JO)
(3.J. JJ)
Ь/2
то
Данный тип уравнений был изучен Кацем и ван Мёрбеке с использованием
метода обратной задачи рассеяния [3.8] ; мы будем упоминать этот
результат сокращенно как систему КМ. Хотя эта система не имеет
непосредственной механической интерпретации, Кац и Мё'рбе-¦ ке отметили,
что она просто связана с цепочкой с экспоненциальным взаимодействием.
103
Чтобы показать связь между системой КМ и цепочкой, положим
~ х2к+л ~Х2к "
(3. <?. jj)
2k+J ~ Х2к+2 ' •
Рис. 3.1 иллюстрирует соотношение между х2к->"' и ^лк'"' Уравнение
(3.8.11) удовлетворяется, если
-с , = е 1 + е - ,
(3.S.J3)
ОС 2к+± ~е *7
где JL - постоянная. Далее, положим (ср. рис. 3.1)
Х2к = а*> X2k+i=a'k> (3.S.19)
а следовательно,
ft,k = a'k-ak, иг.*ы
Тогда (3.8.13) перепишем в ввде а
k (З.Я.Лб)
¦ > -/?,/, -*lk+d .
. п = е 2к + е .
V. "• (с
Рис. 3.1. Соотношение между системой Каца - Мёрбеке и преобразованием
Бзклунда (разд. 3.9).
104
Дифференцируя (3.8.16) по Ь , получаем
П -Я р _ tp t ^ 2к =
О-к~ Зк-d -*2к&
= (е*>к2 - е-**ь)е ***** (е2к-*-<
(t?2k-j. + f?2k-i) (3S.J?)
= е ~ s ,
а значит, с учетом (3.8.15)
Q -е ~ е
к
Это уравнение описывает цепочку с экпоненциальным взаимодействием.
Аналогично можно получить уравнение
-(Q'k-вк-л') -(вк**~вк) tt.f.JScf)
йК=е -е
которое опиоывает другую цепочку с таким же экспоненциальным
взаимодействием. Таким образом, оистема КМ позволяет получить две цепочки
с экпоненциальным взаимодействием.
Далее, так как (3.8.4, 5) подразумевают, что
У -У = 1
\'%п,п+2 = ~^(tm)+3,п -°L-rb°L-nw, а остальные элементы равны нулю, то
и п-i *- у Iе у, сз.^го)
[(У 'п>2,Ъ *¦ П+й
Тогда, яспользуя (3.8.14-16), получаем (?2^2п,2п. ~9&гь*~7
1(У ^2n-fJ,2-п+1 ~ У (r) n + if ' (32.22)
\f\f2\ -- р~(&п+1 &п)/2
)(*¦ /2ib,2n+2 У е >
, _ 1 ~(Q-n+A ~Qn)/2
\ (X h?i+d,2n+} ~ У 6
105
Следовательно, уравнение движения для J. которое сохраняет вид
(3- * ^
О t,
включает в себя уравнение движения как для &п (3,8.18а), так и для dn
(3.8.186), т.е. уравнения dL/dt "&L-L6 (3.1.7) и dl'/c/i =B'L'-L'B',
где Qn и Рп заменены на Q.'n и Р^.
Если положить U = 0, то
a'n'2-L2nJ2n-H > ап =2u2nfd 2nf2 ,
(3.2 23)
i$.n =2 (22п^± + 2-Zn), -2(cL2n + J-in+i ).
Задача 3.6. Проверьте равенство (3.8.3) для )fk и р к . Покажите, что
если мы положим f = 0, то р К ~ сс к.
Задача 3.7. Проверьте справедливость частных решений уравнения
(3.8.II)
. ( cL(xn+/it)
R ""= ^
( (ск-[эе(-rt-i)+pt ]
. ( сЛСзеги-pt)
R - -ьп { г---------------
Ын [ с&[х (п*л)+/з?]
или
^ - 7=^hA(xnfM)]'
^ -~L=^-[l+btL(xrv+/3t)];
\1-рг L
где
сА- зе р> = 1-Аэе.
Покажите, что они приводят к солитону в цепочке с экспоненциальным
взаимодействием (ср. (2.4.2)).
-106
Задача 3.8. Покажите, что (3.8.16) имеет частное решение
=
¦ с&(эеп.+ pt)
^ с-Я [зе (n?i)+/3t]
о эе
где р, = х} d = е + е
3.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА
В предыдущем разделе мы рассмотрели две цепочки, объединенные в систему
КМ. Это значит, что если движение цепочки преобразовано посредством
системы КМ, то мы получим другое возможное движение цепочки. В общем
случае преобразование, позволяющее получить из одного решения другое,
называется преобразованием Бэк-лунда. В данном случае преобразование
оистемы КМ - преобразование Бэклунда для цепочки с экспоненциальным
взаимодействием. Можно показать, что это преобразование каноническое.
I. Начнем с простого замечания. Для набора переменных Q=}Qnj и Р= \ 'P^i
j рассмотрим преобразование
•р *ъ(а) ! ^ (й'}
1 ** fn(Q') nfrv(Qi)
(3,3.1)
v'_ п ^(а] (а')
fn(Q') + '
где Я - константа. Отсюда видно, что
pf р'2pz+?
л 'п.*'*)
_ 1 г (&') f j Г^_га^)]г , ,
^z[ue(Q) J У ' (3?г}
Таким образом, если каноничеокое преобразование определено выражением
(3.9.1), оно преобразует гамильтониан
j V-I 2. т-т 1 . .
107
в себя в тем случае, если граничные условия обеспечивают постоянство
правей части равенства (3.9.2),
Гамильтониан цепечки с экспсненшшльным взаимодействием . 41 ^ -Сб-пи
~&-п)
H(Q,P)~Z ^ . е (3.9.9)
-72=--ее?
приводится к такому виду, если (Q) = eS'n'. Поэтому мы выбираем
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed