Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Подобная картина поведения повторяется бесконечно
(б')
0
02 = -у- (cos рф - cos р4) - -0О sin
222
долго, если в системе отсутствует демпфирование.
С уменьшением жесткости пружины растет период биения. Разумеется, при
жесткости пружины k = 0 маятники не взаимодействуют, поэтому соотношение
между формами колебаний становится неопределенным.
Пример I. Для показанной на рис. 3.3 системы принять, что каждая часть
вала имеет постоянную жесткость kK при кручении и что /2 = 2/х.
Определить реакцию системы при свободных колебаниях,
возникающих при внезапной остановке в точках А и В вала, вращающегося с
постоянной угловой скоростью ф0.
Решение. Из уравнения (3.8) (см. п. 3.2) видно, что Мп = /х, М22 = 2/х,
Sxx = iS22 = 2kK, S12 = S2X = -kK. Используя эти данные из выражения
(3.19), определим характеристические значения
Рис. 3.15
Pi
(3-/3) кк 2 /х
ki
= 0,634
(3 + /з)
а из выражений (3.20а) и (3.206) 2
h '
= 2,366 t
*1 11
отношения амплитуд
2
(1 + /3)
0,732; г2 =
(1-/3)
= -2,732.
(д')
(е')
На рис. 3.15, а и б показаны соответственно первая и вторая формы
колебаний, причем значения амплитуд даны в безразмерном виде и отнесены к
величине амплитуды колебаний правого диска.
Из выражений (3.26) находим значения постоянных Сх = С3 = 0, С2 = =
1,352ф0 ///6К> Q =-0,05024фс //Х/6К. После чего с помощью выражений
(3.25а) и (3.256) определяем угловые перемещения системы
(ж') (3')
ф! = (0,992 sin pit + 0,137 sin p2t) ф" / 1г/кк',
(1,352 sin pxt - 0,0502 sin p2t) ф" //X/6K-
Пример 2. Систему, показанную на рис. 3.10, а из предыдущего параграфа,
можно рассматривать как упрощенную схему автомобиля, опертого на передние
и задние пружины. Для того чтобы исключить инерционное взаимодействие,
при рассмотрении поперечных и угловых перемещений вокруг поперечной оси
используем центр тяжести С. Предполагается, что известны следующие
характеристики автомобиля:
mg - 1,46-104 Н, k±= 3,57-105 Н/м, к2 = 4,47-105 Н/м,
1с= 1,74-10* Н-м-с2, /х= 0,102 м, /2= 0,152 м.
Определить частоты и формы колебаний системы и исследовать поведение
автомобиля при свободных колебаниях, если имеется начальное перемещение Д
в вертикальном направлении без поворота:
(Уос= ^> (r)ос = 0, уос = 0ОС = 0).
223
Решение. Используя уравнения (3.14в) из предыдущего параграфа, возьмем
Мг1= т= 1,49-103 Н-с2/м, М22 = /с = 2,23-104 Н-с2/м,
Sn = fej + k2 = 6,7-104 Н/м, S12 = S21 = k2l2 - Vi = 3,18-104 H,
S22 = *i/? + k-Д = 1,42-104 Нм.
Для указанных данных из выражений (3.19), (3.20а) и (3.206) следует Рх =
6,13 рад/с, р2 = 9,42 рад/с,
(тх " 1,02 с"1, т2 " 0,67 с'1), гг = -2,86 м/рад = -0,05 м/град, г2 =
0,48 м/рад = 0,008 м/град.
На1рис. 3.16, а и б|представлены первая и вторая формы
колебаний, значения
которых отнесены к поворотам. Эти формы эквивалентны поворотам
автомобиля
как жесткого тела относительно узловых точек О' и О", расположенных на
расстояниях соответственно 2,87 м вправо и 0,48 м влево от точки С. При
колебаниях по первой форме автомобиль в основном совершает поперечные
перемещения, в то время'как второй форме соответствуют в основном угловые
колебания вокруг поперечной оси.
Используя заданные начальные условия из выражений (3.26), определяем
произвольные постоянные интегрирования Сх = -С3 = -А/10,99, С2 = С4 = 0.
И, наконец, в соответствии с выражениями (3.25а) и (3.26а) найдем, что
компоненты движения автомобиля имеют вид
ус = (0,856 cos pxt + 0,145 cos р2/) А, (и')
0С = -0,0911 (cos Pj/ - cosp2/)A (к')
и представляют сложную непериодическую комбинацию поперечных и угловых
колебаний.
224
ЗАДАЧИ
3.5.1. Для системы из задачи 3.2.1 (см. п. 3.2) принять, что т1= т2 - т и
что kl = k,= k3 = k. Определить характеристические значения р[ и р\, а
также отношения амплитуд гг и г2. Взять величины х01 = х02 = Д и х01 =
х02 = 0 в качестве начальных условий и определить поведение системы при
свободных колебаниях.
шОтвет: гг= 1, г2 = -1.
3.5.2. Используя значения параметров, приведенных в задаче 3.2.2 (см. п.
3.2) применительно к показанной на рис. 3.2 системе, определить
характеристические значения р\ и р\, а также отношения амплитуд л, и гг.
Определить также поведение системы при начальных условиях х01 = Д, у01 =
0, х01 - у01 = 0.
Ответ: гу =- КЗ/2, г2 = 3/2.
3.5.3. Пусть для системы, рассмотренной в задаче 3.2.3 (см. п. 3.2),
дано: m 1 = т2- т, /х - /2= I, k3 = k2 = 0. Найти р\, р\, /у и г2 и
определить реакцию системы при следующих начальных условиях: х01 = х02 =
0, i01 = i02 = v. Ответ: /у = l/(l + V2), r2 = l/(l -- У 2).
3.5.4. Принять, что для двухэтажной рамы, рассмотренной в задаче 3.2.5
(см. п. 3.2), дано: mL = 2т, т2 = т, h1 = h2 = h, ?7j= EI2 = EI. Найти
p'{, p\, /у и r2 и определить перемещения при свободных колебаниях, если
к нижней балке рамы внезапно прикладывается статическая нагрузка (Qi)Ct-
Ответ: гг = 0,894, г2 = -0,014.
3.5.5. Принять, что для системы, показанной на рис. 3.7, а (см. пример 1
в п. 3.3), дано: тг = т2 = т. Найти значения Я,х, к2, гх и г2 с помощью
