Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
свободными колебаниями, снова рассмотрим два простых маятника (см. рис.
3.4), соединенных пружиной. Для этой системы элементы диагональной
матрицы масс [см. выражение (3.9)] имеют вид Мц = М22 = ml2. Кроме того,
вместо матрицы S там используется матрица S*, содержащая обусловленные
силами тяжести элементы вида
Sf, = Sh = kh- + mgl- Sh = SSi = -kh2.
Используя эти значения, по формуле (3.19) определим круговые частоты
собственных колебаний
lf~. " l/K I 2W
Pi- У - • Pi-У
Затем из выражений (3.20а) и (3.206) можно найти отношения амплитуд
Ti = 1; г2 = - 1. (а )
220
а)
6)
Рис. 3.14
На рис. 3.14, а и б показаны две собственные формы колебаний, где
безразмерные значения амплитуд отнесены к значению амплитуды правого
маятника. При колебаниях по первой форме маятники перемещаются в одном и
том же направлении с одной и той же амплитудой (как если бы это был один
маятник); при этом связывающая их пружина не деформируется. При
колебаниях по второй форме маятники качаются с одинаковыми амплитудами в
противоположные стороны, поэтому пружина периодически растягивается и
сжимается .
Эта система является симметричной относительно вертикальной плоскости,
равноотстоящей от обоих маятников. Как видно из рис. 3.14, б, вторая
форма собственных колебаний является симметричной относительно этой
плоскости и называется симметричной формой колебаний. Чтобы представить
эту форму колебаний, можно использовать половину системы, закрепив
неподвижную пружину в точке, расположенной в середине ее пролета (в этом
случае эффективная жесткость половины пружины равна 2k). С другой
стороны, первая форма собственных колебаний (см. рис. 3.14, а) будет
антисимметрична относительно упомянутой плоскости симметрии, вследствие
чего она и называется антисимметричной формой колебаний. В этом случае
можно пользоваться половиной системы, если позволить средней точке
пружины свободно перемещаться через плоскость симметрии (следовательно,
здесь эффективная жесткость половины пружины равна нулю). В общем случае
в колебательной системе, имеющей единственную плоскость симметрии, будут
возникать относительно этой плоскости только симметричная и
антисимметричная формы, поэтому вместо исходной системы можно рассмотреть
две приведенные системы. Одна из них должна быть закреплена в плоскости
симметрии с тем, чтобы появились только симметричные формы перемещений, а
другая должна допускать только антисимметричные перемещения.
221
Если на соединенные пружиной маятники не действуют силы тяжести, матрица
S* переходит в матрицу S, являющуюся особенной. В этом случае корни (э)
принимают вид
Теперь первая форма колебаний системы состоит из движения системы как
жесткого тела, которое появляется при отсутствии демпфирования.
Собственная частота такой формы движения как жесткого тела равна нулю, а
период равен бесконечности. Характеристические уравнения, имеющие только
положительные корни, называются положительно определенными, а уравнения с
одним или более нулевыми корнями называются положительно
полуопределенными. В соответствии с этим колеблющиеся системы с одним или
большим числом форм движения как жесткого тела иногда называются
полуопределенными системами.
В качестве другого случая, относящегося к паре маятников, предположим,
что имеется сила тяжести, но жесткость соединительной пружины равна нулю;
при этом вторая круговая частота в выражениях (э) совпадает с первой, т.
е. имеет место случай кратных корней. Маятники могут колебаться
независимо с одинаковой частотой, а внутренней связи между их амплитудами
не существует.
С другой стороны, если соединяющая маятники пружина имеет малую (но не
равную нулю) жесткость, то говорят, что обе части системы являются слабо
связанными. В этом случае частота колебаний во второй форме будет
ненамного выше, чем частота колебаний, соответствующая первой форме (см.
выражение (э) ]. Предположим, что колебания системы возникают при
начальных условиях вида 001 = (c)о. 002 = 0. 001 = 002 = 0- Из выражения
(3.26) находим Ci = -С3 = 0о/2, С2 = С4 = 0. Тогда согласно выражениям
(3.25а) и (3.256) для динамических перемещений системы получим
01 = -у-(cosр^ + cosр4) = 0Оcos (Pl 2Pi)t cos (Pl +2Pa) 1 ; (в')
Когда частоты Pi и рг имеют близкие значения, каждое из перемещений 01 и
02 содержит произведение тригонометрических функций, в аргументы которых
входят либо низкая (р± - р2)!2, либо высокая (Pi + Рг)!2 частоты. В
результате будет возникать явление, называемое биением (см. п. 1.7). В
начале процесса развития движения системы левый маятник колеблется с
амплитудой 0О, а правый находится в покое. Далее амплитуда у первого
маятника уменьшается, тогда как у второго она нарастает. В момент времени
t = л!{р\ - р4 левый маятник перестанет колебаться, а правый колеблется с
амплитудой 0О. Затем колебания первого маятника начнут увеличиваться, а
второго уменьшаться, пока в момент времени t - 2nl(pi- рг) состояние
системы не будет снова соответствовать исходным начальным условиям.
