Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. На рис. 3.11 показано абсолютно жесткое тело, присоединенное к
кон-сольно закрепленной балке. Пусть 1с - момент инерции Рис. 3.11 массы
тела относительно оси г,
А В
т X
1 с Ь у
212
Рис. 3.12
проходящей через центр тяжести (точку С). Эта точка располагается на оси
х на расстоянии 6 от незакрепленного конца балки. Предполагается, что
призматическая балка имеет жесткость EI при изгибе. Рассматривая только
малые перемещения в плоскости ху, обусловленные изгибными деформациями, и
считая, что данная система имеет две степени свободы, записать уравнения
движения в перемещениях.
Решение. Если в качестве координат перемещения выбрать прогиб ув и
поворот 0в точки В абсолютно жесткого тела, то легко получить
коэффициенты податливостей. Кроме того, элементы матрицы масс совпадают с
элементами матрицы (г), за исключением того, что длина заменяется на
расстояние 6. Таким образом, можно записать уравнения движения в
перемещениях для рассматриваемой точки В:
mb
У В 1 со СХ 1 ( ' Qb ¦
6 EI 31 6 1 .ТВ _
т
mb
lc + mb2
' У в '
. _
(м)
в которых имеются как инерционные взаимодействия, так и взаимодействия,
обусловленные упругостью.
С другой стороны, если движения абсолютно жесткого тела рассматривать в
точке С, получим следующие уравнения в перемещениях:
Ус ' /
.0С. 6 EL
X | ' Qc Тс
2 (I2 -f 3/6 -f 3b2) 3(1-f 26)
3(/-f 26) m 0 0 Lc
X
Ус
ё
с J
(н)
в которых отсутствуют члены, описывающие инерционные взаимодействия, но
имеются члены, характеризующие более сложные взаимодействия,
обусловленные упругостью.
Пример 2. Рассмотрим двойной составной маятник (рис. 3.12, а), состоящий
из двух соединенных в точке В абсолютно жестких тел, шарнирно
закрепленных в точке А. При наличии сил тяжести эта система может
колебаться в плоскости ху. В качестве координат перемещения возьмем малые
повороты 0Х и 02. Тела имеют массы тг и т2, центры тяжести находятся в
точках С1 и С2, через /х и /2 сбозна-
213
Чены моменты инерции Масс относительно осей 2, гфоходя1цие через эТи
Точки. Трё* буется записать уравнения движения данной системы в усилиях.
Решение. Используя принцип Даламбера, запишем уравнение динамического
равновесия моментов относительно точки А для всей системы (см. рис. 3.12,
а)
/.,0, •
¦ mxh\Qx + Шп (/0J + й2е4) (/ + h.,) ¦
"Ь т-г8 (l(r)i "Ь Л202) = Тх + Т2. (о)
Аналогично, из условия равновесия моментов относительно точки В для
второго тела получаем
^ 20-2 1Н2 (^01 -[- /1262) ^2 4" 1772gH2Q2 - Р2 •
Переписав уравнения (о) и (п) в матричной форме, имеем /1 + mji\ -f m2l
(/ + Л2) 12 4" tn-Jl2 (I 4~ Л2) mjh2 /2 + m.tfh
(п)
ег
. 02 .
+
+
(m1h1+m2l)g m2h2g 01 ' Тх + Т2 -
0 .02 . т2 .
(P)
Уравнение (p) напоминает уравнение (д), поскольку обобщенные усилия не
соответствуют координатам перемещения, и матрицы коэффициентов являются
несимметричными. Однако, если из уравнения (о) вычесть уравнение (п), то
результирующее уравнение вместе с уравнением (п) даст следующую систему:
M0+G0 = Т =
где М и G - симметричные матрицы вида
I1 + mxK{ + m.J-m2lh2
(mj/ij + m20 g 0
M
T1 T2
mjh2 /2 + m2hi 0
m2hig
(c)
(t)
(У)
Теперь первое уравнение этой системы представляет условие динамического
равновесия моментов относительно точки А только для первого тела.
Симметричные матрицы М и G можно построить непосредственно как матрицы
коэффициентов влияния соответственно инерции и сил тяжести. На рис. 3.12,
б и в схематично представлены условия 0Х = 1 (при 02 = 0) и 02 = 1 (при
0Х = 0), которые требуются для определения элементов матрицы М. Из
рис.3.12, б видно, что величины
М21 = m2lh2; (ф)
Л1ц - h + mih\ + m2l (I +Л2) - VW21 = Ix + тфj + m.J2 (x)
представляют собой элементы первого столбца матрицы М [см. выражение
(т)]. Из рис. 3.12,е находим элементы второго столбца
М-22 = /2 m2/i1; (ц)
А112 ~ ^2 "Ь И121 12 (/ -f- h2) - Й422 171 lh2 ¦ (ч)
Элементы матрицы G можно определить аналогичным образом, взяв вместо
ускорения единичные перемещения.
3.5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ ДЕМПФИРОВАНИЯ
В п. 3.1 для двухмассовой системы, показанной на рис. 3.1, а, были
получены выражения для собственных частот и форм при свободных колебаниях
без демпфирования. Эту же задачу рассмотрим вновь с помощью более
формального подхода, позволяющего полу-
214
чить выражения, применимые ко всем колеблющимся системам с двумя
степенями свободы. Будут рассмотрены уравнения движения как в усилиях,
так и в перемещениях, и обсуждено получение произвольных постоянных при
задании начальных условий в виде перемещений и скоростей. Кроме того,
будут проанализированы и проиллюстрированы примерами несколько
специальных тем, относящихся к вопросу свободных колебаний. Если к
двухмассовой системе, показанной на рис. 3.1, а, не приложены нагрузки,
уравнения движения в усилиях (3.6) представим в форме
MX + sx = o,
(3.17)
- м п 0 ' ' Хх ' (5ц 512 ' Ч ' '0 '
0 м22 _ х2 . + 521 S22 . . х2. - . 0 _
где через 0 обозначена матрица нулевых нагрузок. При обсуждениях в данном
