Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
возмущающие силы Qx и Qy, направленные по осям соответственно х и у. Если
рассматривать только малые перемещения, то можно считать, что
восстанавливающие силы Rlt R2 и R3 (рис. 3.2, б), с которыми пружины
действуют на массу, имеют те же направления, что и пружины
7*
195
Рис. 3.2
в положении равновесия. С учетом этого допущения уравнения движения массы
можно записать в следующем виде:
з
= ? Я; cos at + Qx\ (ц)
1 =1 3
(tm)У\ = I Ri sin + Q,"
t=i
(ч)
где
Ri = - ^(xjCosaj + г/iSina,). (hi)
Подставив выражение (ш) в уравнения (ц) и (ч), после приведения подобных
членов получим з
m%i + 1 ki (xt cos2a; + Уг sin^cosaj) = Qx; (3.2а)
?=1
8
miji + Ц kt (*! cos at cos at -f yx sin2 at) = Q". ?=1
(3.26)
На рис. 3.3 показан третий пример системы с двумя степенями свободы в
форме двух дисков, установленных на валу, который
Рис. 3.3
196
закреплен в точках А и В, а в точках С и D имеет опоры, препятствующие
боковому перемещению в этих точках. Три участка вала имеют коэффициенты
жесткости при кручении, равные kK1, kK2 и km. На рисунке также показаны
степени свободы при углах поворота срх и ср2 дисков, моменты инерции из
масс/j и /2, приложенные к ним крутящие моменты 7\ и Т2. В этом случае
уравнения угловых движений имеют вид
/////////^//////////////
tWwwwwwwwwWr '\
/1Ф1
' *Ь-1Ф1 + kvi (фг - Ф1)
Г
/2ф2:
Рис. 3.4
Эти
форме:
(3.3а)
(3.36)
7Y,
(щ)
- klA (фа Ф1) &ьз Фа "Ь Т2-
(Э)
уравнения можно переписать в иной /1Ф1 ~"Ь (&к1 + ^ка) Ф1 ~ ^кгфг = Тъ
/•2Ф2 ^кгФ1 (^К2 ~Г ^кз) Фг = Т2-В качестве последнего примера рассмотрим
пару простых маятников, соединенных пружиной (рис. 3.4). Они имеют
одинаковые длину I и массу т, а шарниры А и В позволяют им свободно
колебаться только в плоскости рисунка. Конфигурация системы при движении
определяется углами 9г и 02; при этом возбуждающие колебания силы Р1 и Я2
действуют в горизонтальном направлении. В предположении малых перемещений
системы запишем уравнение движения
ml2Ql = -mglQ1 + kh2 (02 - 9Х) + /V; (а')
ml2Q2 " -mglQ2 - kh2(Q2 - 0j) + P2l- (6')
Эту систему можно переписать в следующем виде:
ml261 + {kh2 + tngl) 0j - kh2Q2 = (3.4a)
m/202 - kh2Q1 + (kh2 + tngl) 02 = P2l. (3.46)
Видно, что в каждом из приведенных примеров уравнения движения имеют
одинаковую форму. Это свойство уравнений будет использовано в следующем
параграфе.
3.2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В УСИЛИЯХ: КОЭФФИЦИЕНТЫ ЖЕСТКОСТИ
Уравнения (3.1а) и (3.16) можно записать в матричной форме *:
т1
О
О
т2
+
k\ + k2 k2
¦ к-ч
k2J
4* 'Qi"
4" < . Qa_
(3.5)
* Введение в операции с матрицами см. в кн.: Gere J. М., Weaver W. Matrix
algebra for engineers. - Princeton: D. Van Nostrand, 1965. 168 p.
197
Эти же соотношения можно представить также и в более компактном виде
MX+SX = Q, (3.6)
где предполагается, что X, X и Q - вектор-столбцы:
X = , х = , Q = ¦<эг
.*2. *2. . Qz -
a S и М - матрицы вида
s = Sn Si2 kl -)- k2 k2 ; M = 0 '
Sai Sa2_ k2 k2 . 0 m2
Уравнение (3.6) можно рассматривать как систему уравнений движения в
усилиях, выраженную в матричной форме. Подобная терминология здесь
вводится, потому что это уравнение представляет большой класс уравнений
движения, в которых компонентами являются либо силы, либо моменты (или
говоря обобщенно - усилия). Матрица жесткости S имеет в качестве
элементов коэффициенты влияния жесткости, а в матрице масс М в качестве
диагональных элементов стоят массы тг и т2. Хотя для большинства задач
матрица масс является диагональной, имеются некоторые системы, где это не
так. Подобные случаи обсуждены в п. 3.4.
Обратим внимание теперь на свойства матрицы жесткостей S и на получение
ее элементов некоторым упорядоченным путем. Произвольный элемент Stj
матрицы представляет собой усилие, соответствующее перемещению типа i,
обусловленного равным единице перемещением типа /. Задавая единичные
перемещения для каждой из координат перемещения (в каждый момент времени)
и вычисляя соответствующие усилия, получим все такие усилия. На рис. 3.5,
а и б этот процесс показан применительно к примеру 1 из предыдущего
параграфа. На рис. 3.5, а задано единичное перемещение лу = 1; при этом
считается, что х2 = 0. Статические силы, необходимые для выполнения этого
условия, обозначены через Su и S21 (косые черточки на векторах усилий
служат для напоминания о том, что эти усилия являются удерживающими).
Обозначение Su относится к усилию типа 1, необходимому для создания
единичного перемещения типа 1, а через S2i обозначено усилие типа 2,
необходимое для создания единичного перемещения типа 1. Их величины Su =
kr + + k2, S21 = -k2, и они составляют первый столбец матрицы жесткости.
Элементы второго столбца матрицы S получаем в соответствии с рис. 3.5, б,
на котором показано единичное перемещение х2 = 1 (при этом лу = 0). В
данном случае силы S12 = -k2 и S22 = k2. Они представляют собой силы типа
1 и 2, необходимые для создания единичных перемещений типа 2. Для линейно
