Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения движения в перемещениях' и' проверить справедливость
соотношения S= = F~x.
3.3.5. Построить матрицу податливости Fc для рассматриваемой в задаче
3.2.6 системы без учета сил тяжести. Получить матрицу Sс путем обращения
матрицы Fc, затем путем суммирования с матрицей Gc получить матрицу S?,
после чего обращением матрицы S? получить матрицу F?.
3.3.6. Свободно опертая балка (рис. А.3.3.6) имеет установленные в
точках, отстоящих от концов и друг от друга на треть длины балки,
сосредоточенные массы тх и т2. Предполагается, что призматическая балка
имеет при изгибе жесткость EI. Используя ух и у2 в качестве координат
перемещения, определить коэффициенты податливости и записать в матричной
форме уравнения движения в перемещениях.
Рис. А.3.3.6
3.3.7. На рис. А.3.3.7 показана свободно опертая балка с одним
свешивающимся концом (жесткость при изгибе равна EI) и с двумя массами тх
и т2. Определить матрицу F податливости, обратить ее для получения
матрицы жесткости S= F-1 и записать в матричной форме уравнения движения
в условиях.
207
Рис. А.3.3.7
3.3.8. Каждый элемент горизонтальной рамы (рис. А.3.3.8) имеет поперечное
сечение прямоугольной формы с жесткостями EI при изгибе и GJ при
кручении. Определить матрицу податливости для перемещений уг и у2 в
вертикальном направлении, обратить ее и записать в матричной форме
уравнения движения в усилиях.
3.4. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИНЕРЦИОННЫХ СИЛ И СИЛ ТЯЖЕСТИ
Для большинства рассмотренных в данной главе систем с двумя стержнями
свободы матрицы масс и сил тяжести были диагональными. Связанные с их
совместным влиянием члены уравнений движения появились только во
внедиагональных элементах матриц жескостей и податливостей. Подобного
типа совместное влияние назовем упругим взаимодействием, поскольку эти
слагаемые уравнений определяются либо жесткостными свойствами, либо
свойствами податливости упругих элементов. Внедиагональные элементы
матриц масс и сил тяжести можно получить и путем изменения формы записи
уравнений движения. Элементы первого типа часто появляются в уравнениях
движения систем с абсолютно жесткими телами и их назовем инерционным
взаимодействием, тогда как второй тип будем называть гравитационным
взаимодействием.
Для того чтобы показать, как может возникнуть инерционное взаимодействие,
запишем уравнения движения в усилиях для показанной на рис. 3.10, а
системы, используя различные способы выбора перемещений. Абсолютно
жесткий стержень массой т закреплен в точках А и D на пружинах с
жесткостями и fe2. Стержень закреп-
208
лен так, что не может перемещаться в направлении оси х и движение
совершает только в плоскости ху. Точка С есть центр тяжести стержня, 1С -
момент инерции масс относительно проходящей через точку С оси г (на
рисунке не показана). Точкой В обозначена такая точка стержня, для
которой выполняется условие
^1^4 ~ ^2^5- (а)
Приложенная в точке В и направленная параллельно оси у сила вызывает
только смещение без поворота стержня, а момент вызывает только поворот
без смещения.
На рис. 3.10, б представлен один из способов выбора координат перемещений
для подобной системы, в качестве которых взяты уА - перенос точки А в
направлении оси у и 0А - поворот стержня относительно точки А. На рисунке
также показаны приложенные в точке А усилия QA и ТА, обусловленные
реакцией пружин силы в точках А и D, а также инерционные силы в точке С.
Если на схеме со свободным телом показаны эти действия, тело можно
рассматривать как находящееся в состоянии динамического равновесия.
Тогда, применяя принцип Даламбера для получения уравнения равновесия в
усилиях в направлении оси у, найдем
т {Уа + /АО + Ма + К (уА -L-10А) I = QA. (б)
Для того чтобы получить второе уравнение равновесия, подсчитаем моменты
относительно точки А и запишем
т (У а ~\~ ^ёд) Ij + /сёЛ (yA IQ а) I - Та ¦
В матричной форме уравнения (б) и (в) имеют вид т пйл mli Ic 1 ш1'\
' У А ' 1 ГО ' У А Q.A
.ёл . Г to to . "л . 1
(в)
(3.14а)
209
где присутствуют члены, характеризующие как инерционное, так и упругое
взаимодействие.
В качестве второго варианта выбора координат перемещений для этой системы
возьмем ув и 0В (соответственно перемещение точки В в направлении оси у и
поворот стержня относительно точки В) и соответствующие усилия QB и Тв.
Поступая так же, как и выше, запишем в матричной форме уравнения движения
в условиях
m
ml з
m/3 Iс + m/3 _
' У в '
- . +
k\ + k2
О
0 k\li k2l$
У в Qb
.0а. .Тв_
,(3.146)
где имеются члены, характеризующие инерционное взаимодействие, и
отсутствуют члены, описывающие упругое взаимодействие.
При выборе третьего варианта координат воспользуемся центром тяжести
(точка С) в качестве точки, определяющей движение стержня как абсолютно
жесткого тела. В этом случае координатами перемещения являются ус и 0С
(т. е. перемещения в направлении оси у и поворот балки относительно точки
С), а соответствующими усилиями будут Qc и Тс. Тогда применительно к
