Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что силы и Q2, действующие на массы (см. рис. 3.1, а), были
приложены статически (поэтому не возникали силы инерции). При таком
условии перемещения масс, выраженные через податливости 6j и б2,
принимают вид
(-И)ст = 6i (Qj -f- Q2); (б)
(^Дст = бх (Qi -)- Q2) -f- б2Q2. (в)
Эти выражения можно представить в матричной форме
(г)
Подобные соотношения между перемещениями и усилиями могут быть составлены
в еще более компактной форме
А' A 6i - 'Qi'
.*2. ст б2 бх -|- б2_ Qz_
Хст = FQ,
где через F обозначена матрица податливости
F =
Fu A
Ai F 22 A H- б2_
(д)
(е)
Элементами матрицы являются коэффициенты влияния податливости, которые
определяются как перемещения, обусловленные единичными усилиями,
соответствующими этим перемещениям.
Элементы матрицы податливости можно получить способом, который
использовался при построении матрицы жесткости. Произвольный элемент
матрицы податливости представляет собой перемещение типа i, обусловленное
действием единичного усилия типа /'. Прикладывая единичные усилия в
направлении соответствующих координат перемещений (каждый раз по одному
усилию) и вычисляя получаемые в результате перемещения, определим все
элементы матрицы. На рис. 3.6, а, б этот процесс показан для системы,
изображенной на рис. 3.1, а. Из рис. 3.6, а видно, что единичная сила Qi
= 1 статически прикладывается к массе mlt тогда как к массе т2 сил не
приложено. Получаемые при этом статические перемещения
202
^f- eG- "Г
ЛЛЛАЛЛЛЛЛАЛЛа!/- Qr\ j 4 1 ¦лллллллллллл^ i 1 1
1 i 6г L 1 |
* \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F9//////F/7
а)
обозначены на рисунке буквами Fu и FiV Обозначение Fu относится к
перемещению типа 1, обусловленному действием единичного усилия типа 1,
F21 - перемещение типа 2, обусловленное влиянием усилия типа 1. Используя
обозначение (а), найдем величины Fn = = F21 - = 1/fej, составляющие
первый столбец матрицы жест-
кости. Элементы второго столбца в матрице F получаем в соответствии с
рис. 3.6, б, на котором показана единичная сила Q2 = 1, приложенная
статически к массе т1, а к массе т2 не приложены силы. В этом случае
податливости Fn = = l/k^ F22 - + 62 =
= (kx -j- k2)l(kxk2) и представляют собой перемещения типа 1 и 2,
обусловленные действием единичной силы типа 2. Матрица податливости, так
же как матрица жесткости, всегда симметрична * для линейной упругой
системы (как свойство обращения симметричной матрицы), и в этом случае
имеем F12 = F2l = 6Х.
Приложим теперь силы Q1 и Q2 динамически, при этом необходимо принять во
внимание силы инерции - и -тгхг, и тогда уравнение (г) примет вид
х 1 г л. т V. 1
(ж)
Если для масс и ускорений записать отдельные матрицы, то уравнение (ж)
примет развернутую форму
V т. П 1 Tf.H
(3.11)
~Xi "Э 'Qi - m1x1'
.X2_ _ ^2 6l ^2 . .Qi - m2x2_
~Xy Ю CO 'Qi ' тг 0 Xx
.Xi. 62 6! + 6.2_ I .Qi. 0 m2 x2
*) Симметричность матрицы податливости следует из теоремы взаимности, Дж.
Максвелла, доказанной им в 1864 г. См. Maxwell J. С. On calculation of
the equilibrium and stiffness of frames. - Philosophical Magazine, Ser.
4, 1864, v. 27, pp. 294-299; переизд. The scientific papers of James
Clark Maxwell, v. 1, Cambridge: University Press, 1890, pp. 598-604.
203
краткая запись которой имеет виД
X = F(Q MX)
(3.12)
Из этого соотношения следует, что динамические перемещения равны
произведению матрицы податливости на усилия, рассматриваемые в задаче.
Как внешние приложенные усилия, так и инерционные усилия входят в стоящее
в скобках выражение в правой части уравнения.
Для того чтобы сравнить этот метод с тем, что рассматривается в
предыдущем параграфе, решим соотношение (3.6) относительно X:
X = S"1(Q-MX).
(з)
Выражение (з) получено в предположении, что матрица жесткости S не
особенная, поэтому существует обратная матрица S-1. Сравнивая уравнения
(3.12) и (з), получаем соотношение
F = S"1, (3.13)
которым можно пользоваться тогда, когда матрицы F и S соответствуют одним
и тем же координатам одной и той же системы. Например, если взять
матрицу, обратную матрице F из выражения (е), и использовать обозначения
(а), то получим матрицу
(и)
1 Л Ь б2 -fir А-, 4 A'j I j аг to
ал . -л 1 ю4 k2_
являющуюся матрицей жесткости для системы, показанной на рис. 3.1, а [см.
выражение (б) в п. 3.2]. Разумеется, если матрица жесткости системы
особенная, то соответствующей ей матрицы податливости не существует.
Поскольку система, показанная на рис. 3.1, а, является статически
определимой, то для нее матрица податливости получается легко, что, как
правило, не так просто получить в случае статически неопределимых систем.
Для большинства колеблющихся систем более простым является подход с
использованием уравнений движения в усилиях с коэффициентами жесткости,
но имеется много случаев, когда удобнее противоположный подход. В
следующем примере показано использование коэффициентов влияния
податливости.
Пример 1. На рис. 3.7, а показана консольно закрепленная балка с
