Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 67

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 178 >> Следующая

(2.66) : (x2)i = 9 - 9-0,15942 - 1,2-1,5256 = 5,7345.
Второе приближение дает
(2.64) : (х2)2 = 1,2128 + 5,7345-0,1/2 = 1,4995;
(2.65) : (х2)2 = 0,08314 + 1,4995-0,1/2 = 0,15812;
(2.66) : (ха)а = 9 - 9-0,15812 - 1,2-1,4995 = 5,7775.
Третье приближение дает
(2.64) : (х2)3 = 1,2128 + 5,7775-0,1/2 = 1,5017;
(2.65) : (х2)3 = 0,08314 + 1,5017-0,1/2 = 0,15823;
(2.66) : (х2)з = 9 - 9-0,15823 - 1,2-1,5017 = 5,7739.
Четвертое приближение дает
(2.64) : (ia)4 = 1,2128 + 5,7739-0,1/2 = 1,5015;
(2.65) : (х2)4 = 0,08314 + 1,5015-0,1/2 = 0,15822;
(2.66) : (ia)4 = 9 - 9-0,15822 - 1,2-1,5015 = 5,7742.
На этом шаге по времени решение сходится с точностью до четырех значащих
цифр на четвертом цикле итераций.
Из табл. 2.1а, где приведены результаты для 20 шагов по времени, можно
видеть, что приближенные значения х совпадают с точными [полученными с
помощью выражения (к)] вплоть до трех значащих цифр. Таким образом,
показанные на рис. 2.24 точки практически совпадают с соответствующими
точками на кривой, представляющей точное решение.
2.1а. Решения примера 1 методом осреднения по ускорениям
i Д с Число итераций Решение для х, м-10-2 i h- с Число
итераций Решение для х, м- 10-2
прибли- женное точное прибли-
женное точное
0 0 0 0 и 1,1 3 3,89 3,87
1 0,1 5 0,105 0,109 12 1,2 3 3,80 3,78
2 0,2 4 0,402 0,410 13 1,3 3 3,62 3,59
3 0,3 4 0,843 0,857 14 1,4 3 3,37 3,34
4 0,4 3 1,38 1,39 15 1,5 2 3,08 3,05
5 0,5 3 1,95 1,97 16 1,6 3 2,78 2,75
6 0,6 3 2,50 2,52 17 1,7 3 2,49 2,46
7 0,7 3 3,00 3,02 18 1,8 3 2,23 2,22
8 0,8 3 3,41 3,42 19 1,9 3 2,03 2,02
9 0,9 3 3,69 3,70 20 2,0 3 1,90 1,90
10 1,0 3 3,85 3,85
Другой способ получения приближенного решения уравнения (2.55) известен
как метод линейного ускорения. Как следует из
184
его названия, в этом способе принято предположение, что ускорение
изменяется по линейному закону и длине шага по времени. В соответствии с
этим допущением выражение для х на шаге по времени At, (см- рис- 2.23)
можно записать в виде
x(t') = Xi-i + (Xi - xi.1)t'/Ati, (н)
где время f отсчитывается от начала шага. Если ускорение изме-
няется по линейному закону, то^соответствующая^ему^скорость будет
изменяться во^времени по параболическому закону, а перемещение - по
кубическому, и тогда имеем
= + + -*"-i)(02/2A^; (о)
х (Г) = jfij + *,_!*' + (ty/ 2 + (xt - х^) (ty/i&Ati). (n)
В конце шага по времени скорость и перемещение имеют вид *i = *<-i + (*i-
i + *i)A^/2; (2-71)
хi = хi_x -f- Xi_xAti -f- (2Хг_! -f- Xi) (Ati)2/6. (2.72)
Выражение (2.71) совпадает с выражением (2.58) метода усреднения по
ускорению, а выражение (2.72) несколько отличается от соответствующего
ему выражения (2.60). Если выражение (2.62) для xt подставить в выражение
(2.72) и из последнего вычесть разложение в ряд Тейлора для xt [выражение
(2.61)1, то получим главный член остатка для этого случая:
(р)
Сравнивая выражения (р) и (2.63), видим, что перемещения, определяемые
методом линейного ускорения, должны быть значительно более точными, чем
получаемые методом усредненных ускорений. Однако, как было показано в
проведенных исследованиях *, метод линейных ускорений является только
условно устойчивым, а это означает, что при определенных неблагоприятных
условиях накапливаемые погрешности могут стать бесконечно большими. Метод
усредненных ускорений, напротив, является безусловно устойчивым, хотя и
менее точным.
Применим метод линейных ускорений в духе, аналогичном описанному выше для
подхода с усредненными ускорениями. Поскольку выражение (2.71) аналогично
(2.58), то и рекуррентное выражение /-й итерации для xt совпадает с
выражением (2.64). Для получения соотношения, непосредственно
связывающего xt и xt, найдем xt из выражения (2.71) и подставим его в
(2.72). Тогда получим
Xi = Xi_i -f- (2Xj.! -f- Xi) Ati/S -f- (A/f)2/6. (2.73)
* Cm. ct. Newmark N. M. A method of computation for structural dynamics,
цитированную в п, 2,6.
185
В результате приходим к следующим рекуррентным формулам /-й итерации для
х{.
(Xi)j = 1 j- (Xi)jMi/3,
где
fi?_i = xt-i + 2*,_1Д*,/3 + (Д/,)*/6. (с)
Полученные выше формулы (2.67), а также (2.68) или (2.69) можно вновь
использовать для получения на каждом шаге первоначальных значений в
итерационном процессе.
Когда приведенную в примере 1 задачу решали методом линейных ускорений,
были получены результаты, приведенные в табл. 2.16. В данном случае
большинство приближенных значений х ближе к точному решению, чем
приведенные в табл. 2.1а, и были получены методом усредненных ускорений.
Проверив эти методы на линейной задаче, применим их теперь для
исследования примеров нелинейных задач.
2.16. Решения примера 1 методом линейных ускорений
i *"• с Число итераций Решение для х, м-10^2 tv с Число
итерации Решение для х, м-IQ"2
прибли- женное точное прибли-
женное точное
0 0 0 0 11 1.1 3 3,88 3,87
1 0,1 5 0,108 0,109 12 1.2 3 3,79 3,78
2 0,2 4 0,408 0,410 13 1.3 3 3,61 3,59
3 0,3 4 0,853 0,857 14 1,4 3 3,36 3,34
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed