Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
упругих систем (с ма-
198
а)
6)
Рис. 3.5
лыми перемещениями) матрицы жесткостей всегда являются симметричными *, и
здесь также видно, что S12 = Q21 = -&2.
Если уравнения движения для второго примера предыдущего параграфа [см.
рис. 3.2 и уравнения (3.2а) и (3.26)] задать в матричной форме, получим
т О О т
Ui
з
i'=1
cos2 a i sin a* coscc; Ж Qx
since, cosаг sin2 a; .У1. Qy_
(3.7)
В уравнении (3.7) первый столбец матрицы жесткости можно получить
непосредственно из условия хх = 1 (тогда yL - 0), а второй столбец - из
условия ух = 1 (тогда х1 =0).
Аналогично уравнения движения для третьего примера [см. рис. 3.3 и
уравнения (3.3а) и (3.36)] в матричной форме принимают вид
h 0 + ~b ^K2 ^K2 Ж Ж
0 V .Фа. - ?"2 ^-K2 ~Ь Ж _ф2. .Ж
В данном случае перемещения представляют повороты, поэтому
соответствующие усилия являются парами сил или моментами. Матрица
коэффициентов, содержащая /1 и /2, будет по-прежнему рассматриваться как
"матрица масс", хотя этот термин не совсем удачен. Как и выше, элементы
матрицы жесткости можно найти из условий Фх = 1 (для первого столбца) и
ф2 = 1 (для второго столбца).
* Обоснование подобного утверждения приводится на с. 34-36 кн.: Gere J.
М., Weaver W. Analysis of framed structures. - Princeton: D. Van
Nostrand, 1965 475 p.
199
И, наконец, запишем в матричной форме уравнения движения для последнего
примера [см. рис. 3.4 и уравнения (3.4а) и (3.46)1
'ml2 О
О ml2
Однако в данном случае имеем комбинацию восстанавливающих усилий,
обусловленных влиянием как жесткости, так и силы тяжести. Если для
указанных двух типов восстанавливающих усилий коэффициенты влияния
записать раздельно, получим
S* = S + G, (3.10)
где
s = ' kh2 -kh1 ; G = mgl 0
- kh2 kh2 0 mgl
В предыдущих случаях имели место обычные коэффициенты влияния жесткости,
тогда как в последнем уже встречаются коэффициенты влияния силы тяжести,
которые определяются как усилия, необходимые для создания единичных
перемещений при наличии силы тяжести. Если сила тяжести не учитывается,
элементы матрицы G силы тяжести полагаются равными нулю.
I
02. Jr
kh2 mgl - kh-- kh1 kh- | mgl
9l P j/
Cl Ф 1
(3.9)
ЗАДАЧИ
3.2.1. Для двухмассовой системы, показанной на рис. А.3.2.1, определить
матрицу жесткости S и записать в матричной форме уравнение движения в
усилиях.
3.2.2. Пусть жесткости пружинена рис. 3.2 равны = k2 = ks = k, а для
углов заданы следующие значения: = 0°, а2 = 120°, а3 = 210°. Определить
элементы матрицы жесткости для подвешенной на пружинах массы, выразив их
через жесткость k.
3.2.3. На рис. А.3.2.3 показан двойной маятник с пружинами,
присоединенными к массам т1 и т2. В качестве координат перемещений взять
малые перемещения хг и х2 масс в горизонтальном направлении. Построить
матрицу жесткости S и матрицу сил тяжести G для этой системы, а также
записать в матричной форме уравнения движения в усилиях.
3.2.4. Показанный на рис. А.3.2.4 двойной маятник имеет в обоих шарнирах
работающие на кручение пружины. Принимая за координаты перемещений малые
горизонтальные перемещения ху и х2 масс, построить матрицы S и G;
записать в матричной форме уравнения движения.
200
|-WWWWV-(3
Рис. A.3.2.3
3.2.5. Для показанной на рис. А.3.2.5 двухэтажной рамы здания определить
матрицу жесткости S и записать в матричной форме уравнения движения в
усилиях. Считать, что горизонтальные балки являются абсолютно жесткими и
в качестве координат перемещений использовать малые перемещения хг и х2 в
горизонтальном направлении. Стойки рамы являются призматическими и имеют
жесткости при изгибе, равные Е1Х на нижнем этаже и Е12 - на верхнем.
3.2.6. Абсолютно жесткий призматический стержень опирается в вертикальном
положении на шарнир, а от боковых перемещений подкреплен (за верхний и
нижний концы) установленными горизонтально пружинами (рис. А.3.2.6).
Здесь I, А и р - соответственно длина, площадь поперечного сечения и
плотность материала стержня. Построить для этой системы матрицы
жесткости, сил тяжести и масс, используя в качестве координат перемещений
малые перемещения хс и 0С центра тяжести (точки С) стержня. Записать
уравнение движения в усилиях в матричной форме, включив в них
горизонтальную силу Qc и момент Тс, приложенные в точке С.
|-WVWWV\r
"1.
HTl'l
к
\с
S7/77m
"77777*
ЛЛЛЛЛЛЛЛЛг- (г -
/77//7
Рис. А.3.2.5 Рис. А.3.2.6
20(
3.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ: КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОДАТЛИВОСТИ
Для статически определимых систем иногда удобнее работать не с
уравнениями движения в усилиях, а с уравнениями движения в перемещениях.
Согласно такому подходу выражения для координат перемещений (линейных
перемещений или углов поворотов) системы записываются с использованием их
жесткостей. С этой целью введем обозначение
б = Ilk, (а)
которое будем рассматривать как податливость пружины, имеющей жесткость,
равную k. Согласно этим обозначениям определим податливость обеих пружин,
показанных на рис. 3.1, а, в виде = = 1/&! и б2 = 1 /&2.
