Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
йЫх колебаниях, взяв в качестве начальных условий следующие: х0 = //4; х0
= = Уо = </о = О- Использовать такое уравнение движения и следующие
значения параметров системы: k- 1,79-103 Н/м; /= 0,102 м; т= 1,43-103 Н-
с2/м. Взять постоянный шаг по времени Д/= 0,1 с, число шагов принять
равным десяти и построить график полученного решения.
Ответ: хтах " 4,06-10"? м/с.
2.6.5. Для системы, рассмотренной в задаче 2.1.6 (см. п. 2.1), с помощью
метода линейных ускорений определить динамические перемещения при
свободных колебаниях с начальными условиями вида: ф0 = 0, ф0 = 10,64
рад/с. Использовать такое уравнение движения и следующие значения
параметров системы: W = 22,7 Н; / = 0,254 м; kK = 1,16-10? Н-м/рад. Взять
постоянный шаг по времени Дt = = 0,025 с, число шагов принять равным 20,
построить график полученного решения.
Ответ: фтах яг л/2 рад.,
2.6.6. Вновь рассмотреть пример 3, но характеристики пружины взять не из
задачи 2.2.1, а из задачи 2.2.2. С помощью метода усредненных ускорений
определить максимальное перемещение и время, когда оно возникает.
Ответ: хм яг 0,121 м; fM яг 0,725 с.
2.6.7. Вновь рассмотреть пример 3, но характеристики пружины взять не из
задачи 2.2.1, а из задачи 2.2.4. С помощью метода линейных ускорений
определить максимальное перемещение и время, когда оно возникает.
Ответ: хм яг 7,95-10"? м; tM яг 0,50 с.
2.6.8. Решить задачу 2.5.2 (см. п. 2.5) методом усредненных ускорений *,
используя следующие значения параметров системы: т= 1,79-10? Н-с2/м; k± =
= 1,79-102 л2 Н/м; k2 = 4^; х± = 2,54-10"? м.
Ответ: хм яг 3,81-10"? м; tM = 0,75 с.
2.6.9. Решить задачу 2.5.4 (см. п. 2.5) методом линейных ускорений *,
используя следующие значения параметров системы: т = 1,79-10? Н-с2/м; k =
1,79 X X 102л2 Н/м; х±= 2,54-10"? м.
Ответ: хш- 3,81-10"? м; tM яг 1,22 с.
2.6.10. Решить задачу 2.5.11 (см. п. 2.5) методом линейных ускорений *,
используя следующие значения параметров системы: т= 1,79-10? Н-с2/м; k -
= 1,79-102л2 Н/м; х±= 2,54-10"? м.
Ответ: хм = 8,23-10"? м; tM гяг 1,62 с.
* Задачи 2.6.8, 2.6.9 и 2.6.10 составлены для систем с кусочно-линейиыми
характеристиками восстанавливающей силы, и на каждом этапе исследования
величина k изменяется скачком от единого постоянного значения до другого.
Глава 3
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
3.1. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
В гл. 1 и 2 рассматривались только системы, имеющие одну степень свободы.
В данной и следующей главах будут обсуждены системы, имеющие несколько
степеней свободы, простейшими из которых являются системы с двумя
степенями свободы. Конфигурация такой системы полностью определяется
двумя координатами (или перемещениями), а для того чтобы описать ее
движение, требуется два дифференциальных уравнения.
На рис. 3.1, а показаны две массы тх и т2, соединенные со стенкой и друг
с другом пружинами, имеющими коэффициенты жесткости соответственно kx и
k2. Предполагается, что массы могут двигаться только в направлении оси х
и что в системе отсутствует как трение, как и другие виды сопротивления.
В качестве координат, определяющих движение системы, возьмем перемещения
ху и х2 масс от их положений статического равновесия, при которых
отсутствуют деформации в пружинах. На рис. 3.1, а присутствуют также и
возмущающие силы, описываемые функциями Qi = F± (i) и Q2 = = F2 (i) и
приложенные соответственно к массам тх и т2. Силы, действующие на массы
со стороны пружин при перемещениях во время движения, показаны на рис.
3.1, б. Используя второй закон Ньютона, получим уравнения движения для
масс тг и т2 в виде
тгхг = -+ k2 (х2 - Xj) + Qx; (а)
т2х2 = -k2 (х2 - хх) + Q2. (б)
При хг > х2 эти уравнения не изменяются, потому что в этом случае
сжимающая сила k2 (хх - х2), с которой пружина действует на каждую массу,
будет иметь знак минус в уравнении (а) и знак плюс - в уравнении (б).
Подставив входящие в эти уравнения члены, запишем
mxX! + (&! + &2) х± - k2x2 = Qx; (3.1а)
т2х2 - k2xv + k2x2 = Q2. (3.16)
Таким образом, получена система двух линейных дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для исследования свободных колебаний этой системы положим и Q2 равными
нулю, тогда получим однородные уравнения
т1х1 + (&1 + k2) хг - k2x2 = 0; (в)
т2х2 h2x^ ~ \ h2x2 = 0. (г)
192
Q,
^-'WWWWVWV
'/.77777777777777777^77.\
т, /77.
" -wvvvwwwv-
'v7%77777777777777777&.
L
7777
777777777777777
a)
в,
Ml *1 (xt-xj тг
• < •
6)
Рис. 3.1
Как и выше для системы с одной степенью свободы, будем искать решения в
следующей форме:
хх = A sin (pt + ф); х2 = В sin (pt + ф).
(д)
(е)
Эти выражения показывают, что собственные формы колебаний обеих масс
описываются одной и той же гармонической функцией с круговой частотой р и
фазовым углом ф. Буквами А и В обозначены максимальные значения
перемещений, или амплитуды, при колебательных движениях. Подставляя
представления (д) и (е) в уравнения (в) и (г), получим следующую систему
