Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
на
Рис. А.2.5.10
рис. А.2.5.10. Определить зависимость перемещения и скорости от времени
для одного полного цикла свободных колебаний при начальных условиях
следующего вида: х0 =0; х0 > ргхг.
Ответ:
|78
2.5.11. Применительно к билинейной диаграмме гистерезиса, Показанной на
рис. 2.7,6 и обсуждавшейся в п. 2.1, принять, что кг = 5к2. Для случая
воздействия на систему с указанной характеристикой ступенчатой
возмущающей силы с Qn = k1x1 определить зависимость перемещения от
времени.
Ответ: хм = х1 (l + jA5)> *ост= 4xJV~b.
2.5.12. Рассмотреть задачу 2.5.11, взяв Qn = 2kxx1.
Ответ:
*m=*i(6 + 2/10), лгост = 4xi ^ 1 -J-g-
2.6. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Уравнения движения нелинейных систем могут быть всегда решены приближенно
шаговым методом. Многие из хорошо известных методов основаны на
использовании для отыскания решений формул экстраполяции и интерполяции,
которые применяются для ряда малых, но конечных, интервалов времени. В
данном параграфе дается описание и сравнение ряда эффективных подходов
такого типа, дано также краткое обсуждение других подходов.
Общий вид уравнения движения системы с одной степенью свободы и
нелинейной характеристикой
х = / (t, х, х). (2.55)
Решение можно начать с определения начального ускорения (в момент времени
t - 0) из уравнения (2.55), что дает
х0 = / (0, х0, х0). (2.56)
Искомое решение уравнения (2.55) в любой последующий момент времени t
будем записывать в следующей символической форме:
х = F (t). (2.57)
На рис. 2.23 показан график движения, представляющий собой гладкую кривую
в плоскости xt. Через хг, х2, ..., хь ... обозначены значения перемещения
х в моменты времени t1} t2, ..., th ..., отстоя-
Рис. 2.23
179
щие друг от Друга на длину временных интервалов Atlt At2, ..., Ath ¦ Эти
временные интервалы обычно берутся постоянной длительности At, что не
является обязательным правилом.
В подходе, который в дальнейшем будем называть как метод усреднения по
ускорению, скорость xt в момент времени определяется по приближенной
формуле
= 1 + Atit (2.58)
где Xi_x - скорость на предыдущем временном интервале /г_г. Данная
формула, известная как правило трапеции, показывает, что этот подход в
последние годы приобрел известность как метод Ньюмарка * с р 1/4 или
метод с постоянным усреднением по ускорению. Авторы предпочитают
называть его методом усреднения
по ускорению. На каждом шаге по времени ускорение берем как среднее
арифметическое от хг-1 и xt. Аналогично по правилу трапеции определяем и
приближенное выражение для перемещения
xt = xt.i + ^2+ii Ath (2.59)
где скорость на каждом шаге по времени берем как среднее арифметическое
от хиг и Xi. Подстановка выражения (2.58) в (2.59) дает
хг = х1-1 ~\~ xi-lAti -j- (xi-l xi) (А/;)2/4. (2.60)
Для того чтобы определить погрешность, обусловленную непосред-
ственным использованием выражения (2.60) для определения х;, можно
воспользоваться разложением в ряд Тейлора, что дает
+ AtiXi-i + хЫ1 + -М- xU + • • ¦; (2.61)
Xi = xi-i + AtiXi_i -j- i + • ¦ • (2.62)
Подставляя разложение (2.62) в выражение (2.60) и вычитая из результата
разложение (2.61), найдем ошибку локального усечения ряда (или остаточный
член)
Rx = Xi-г + х+ ' • ¦ = RX1 + RX2 + '¦ • (2.63)
Первое слагаемое в этом остаточном члене ряда является наиболее
существенным и называется, главным членом ошибки локального усечения
ряда.
В данном методе выражение (2.60) не использовалось непосредственно, а
вместо него последовательно применялись выражения (2.58) и (2.59).
Поскольку величина xt не известна заранее, решение необходимо отыскивать,
прибегая на каждом шаге к итерациям;
* Newmark N. М. A method of computation for structural dynamics. -
Journal Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1959, v. 85, N. 5,
pp. 67-94.
180
ниже приведены рекуррентные соотношения для определения /-й итерации на
г'-м шаге:
(Xi)j = At,! + (xi)j_1Atij2, j> 1; (2.64)
(.xt)j = Bt_! + (xi)jAii/2\ (2.65)
(Xi)j = f [tu (Xi)j, (хДф (2-66)
где
= x.i_iAtil2\ (a)
Bi_l = X;_! -f Xi_XAtil2. (6)
Данный итерационный процесс является независящим от начальных условий,
поскольку требует использования специальной формулы для определения на
каждом шаге по времени первого приближения. Определив х0 из выражения
(2.56), можно начать вычислять итерацию для первого шага, находя
приближенное выражение для хх с помощью экстраполяционной формулы Эйлера:
(-*T)i = x0Ati.. (2.67)
Тогда первые приближения для лу и хх находим соответственно по формулам
(2.65) и (2.66). Все последующие итерации на первом шаге по времени
состоят в повторном использовании формул (2.64), (2.65) и (2.66).
Для того чтобы начать итерационный процесс на i-м шаге по времени, можно
снова воспользоваться формулой Эйлера и определить первое приближение для
хр.
(Xi)i = xi-1Jrxi-iAti. (2.68)
В формулах (2.67) и (2.68) предполагается, что ускорение является
постоянным внутри шага по времени. Подставляя xt из последнего выражения
