Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
установленными на ней в середине пролета и на незакрепленном конце
массами соответственно т1 и т2. Предполагается, что призматическая балка
имеет жесткость EI при изгибе. Рассматривая только малые перемещения,
обусловленные изгибными деформациями, возьмем в качестве координат
перемещений прогибы уг и у2 в направлении оси у. В этой задаче требуется
получить уравнения движения в перемещениях, используя коэффициенты
влияния податливости.
Решение. Для того чтобы найти искомые коэффициенты податливости,
прикладываем сначала единичную силу = 1 (см. рис. 3.7, б), и тогда
получим
13 .
2417'
5/3
48?/
(к)
204
Qrt f
Рис. 3.8
Затем прикладываем единичную балку Q2 - 1 (см. рис. 3.7, в) и находим
F12
5/3 . 48 Е1 '
/3
22 3?7 "
(л)
В результате матрица податливости принимает следующий вид:
Is
48 EI
2 5 5 16
(м)
Тогда запишем матричную форму уравнений движения в перемещениях как
У1 Is 2 5 ( QT mi 0 Hi
У г. ~ 48EI .5 16 1 С?2_ .0 ту .У 2.
(н)
Обращение матрицы податливости дает
S = F-1 =
48Е/
7 Is
16
-5
(о)
Эту обращенную матрицу можно получить непосредственно с помощью процесса,
показанного на рис. 3.7, г и д. Однако непосредственное определение
жесткостей в подобного типа задачах является более сложным, чем
определение податливостей. Следовательно, если требуется найти жесткости,
то более просто это сделать с помощью обращения матрицы податливости.
Пример 2. Простейшая схема, показанная на рис. 3.8, а, состоит из двух
призматических балок с жесткостями EI при изгибе. К незакрепленному концу
рамы присоединена масса т, а малые (обусловленные деформациями при
изгибе) перемещения хг и yi незакрепленного конца имеют одинаковый
порядок величины. Требуется записать уравнения движения в усилиях,
используя координаты перемещения хг и у± и не учитывая влияния сил
тяжести.
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, здесь гораздо легче
определять податливости, чем жесткости. На рис. 3.8, бив показаны
перемещения, обусловленные действием единичных нагрузок Qx = 1 и Qy = 1 в
том случае, когда
205
прикладывается только одна из этих нагрузок. В результате матрица
податливости принимает вид
I3
6 Е1
8 3 3 2
Обращая эту матрицу, найдем
S = F-1 =
6 Е1
713
(п)
(Р)
Тогда уравнения движения в усилиях запишем как
~m 0" 6 El ' 2-3- Qx
0 m + j/з -3 8 *2. .Qy.
(с)
Пример 3. В качестве третьего примера определения податливостей
рассмотрим два абсолютно жестких маятника (рис. 3.9, а), соединенных
работающим на кручение стержнем с жесткостью kK при кручении. Требуется
получить уравнения движения в перемещениях при малых поворотах (0! и 02)
маятников вокруг оси х.
Решение. Так как для данной системы несложно определить коэффициенты
матрицы жесткости (матрицы сил тяжести), запишем их сразу:
mg в) mg S* = S + G = + 'mgl 0 '
Рис. 3.9 . ^ К l^U_ . 0 mgl
(т)
Поскольку матрица жесткости S является особенной, матрицы податливости F
= = 5-1 не существует. Тем не менее, существует обратная матрице 5*
матрица вида
(S*ri _______________!__________ Г + mgl
mgl (2kK + mgl) [ kK + mgl
(У)
Элементы матрицы F* нельзя разделить на коэффициенты влияний податливости
и сил тяжести, поэтому их следует рассматривать как псевдоподатливости.
Их можно определить непосредственно, прикладывая единичные моменты (или
дающие тот же результат силы Рх= 1// и Я
ветствии с рис. 3.9, б запишем условие равновесия моментов
mgl ffi + mgl F*n = Pj/ = 1 и условие совместности при кручении
mgl F*x
2 - l/l) так, как показано на рис. 3.9, б и в. В соот-
(Ф)
-FJ1 = ¦
(х)
Решая систему двух уравнений (ф) и (х), найдем выражение элементов
матрицы
Fti =
FI 1 = '
mgl
mgl (2kK + mgl)
mgl (2kK + mgl)
(")
206
которые совпадают с выражениями для элементов, стоящих в первом столбце
матрицы (у). Аналогично можно определить, используя рис. 3.9, в,
выражения для элементов второго столбца матрицы F*. Тогда записанные с
использованием матрицы F* уравнения для перемещений в данном примере
имеют вид
1 1-1 <D = F* / Р'1 ml'1 0 ' 01 '
L02 \ Р4 . _ 0 ml1 02 .
ЗАДАЧИ
3.3.1. Для двухмассовой системы из задачи 3.2.1 определить коэффициенты
податливости, приложив поочередно к массам тх и т2 единичные силы.
Записать в матричной форме уравнение движения и проверить справедливость
соотношения S = F1.
3.3.2. К показанной на рис. 3.3 (см. п. 3.1) системе применить метод,
основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Получить
прямым путем коэффициенты податливости' и проверить':
справедливость'соотношения S = = F-1.
3.3.3. Вновь рассмотреть соединенные пружиной и показанные на рис. 3.4
(см.'п. 3.1) пару маятников и определить матрицу F*
псевдоподатливостей7путем обращения матрицы S*. Кроме того.'юпределить
элементы матрицы F* непосредственно, приложив единичные усилия,
соответствующие координатам перемещения 0г и 02.
3.3.4. Для двухэтажной рамы, рассматриваемой в задаче 3.2.5, определить
податливости путем приложения единичных сил. Записать в матричной форме
