Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
скорости показанного на рис. 2.21, а блока от безразмерного времени,
когда заданы начальные условия вида х0 = 10,5А;
174
"*/<?'
а)
в,°
6)
Рис. 2.22
х0 = 0. Амплитуды этих графиков уменьшаются по линейному закону в
соответствии с выражением
(2.54)
Этому выражению соответствуют наклонные штриховые линии, огибающие кривые
на рис. 2,21, б и в, В соответствии с выбранными
175
начальными условиями масса прекращает свое движение в точке х = -0,5Д,
совершив 2,5 цикла колебаний. Поскольку в моменты времени i = п/р, 2я /р,
... демпфирующая сила меняется скачкообразно, то углы наклона кривой на
рис. 2.21, в имеют в этих точках разрывы.
Хотя на каждом полуцикле сила трения изменяет свое направление, для
системы, показанной на рис. 2.21, а, не представляет труда исследовать
неустановившееся поведение при действии импульсного возмущения. Однако
исследование установившегося поведения при действии возмущающей силы в
виде периодической функции типа Q cos at представляет известные
трудности. Приближенное решение, основанное на представлении вязкого
демпфирования, приведено в п. 1.10, но можно получить и точное решение *.
На рис. 2.22, а и б представлены графики для коэффициента усиления kx/Q и
фазового угла 0, построенные для случая вынужденных колебаний системы с
сопротивлением в виде трения. Каждой кривой на этих рисунках
соответствует определенный уровень демпфирования, определяемый отношением
F/Q. Штриховая линия на рис. 2.22, а обозначает предел, выше которого
возникают безостановочные колебательные движения. Ниже этого предела при
движении имеются промежуточные остановки, где сила трения имеет некоторое
положительное значение Р, лежащее в диапазоне -F с с Р с F.
ЗАДАЧИ
2.5.1. Для изображенной на рис. 2.16, а системы принять, что на нее
действует прямоугольный импульс величиной Qn и длительностью tn (см. рис.
2.16, е). Пусть in - время, равное тому времени, которое требуется, чтобы
скорость х (рис. 2.16, з) достигла своего первого максимального значения.
Определить указанное время tn и амплитуду последующих свободных
колебаний.
Ответ:
у агс,8(-т--г);
2.5.2. Пусть на систему, изображенную на рис. 2.17, а, действует
возмущающая сила в виде ступенчатой функции, равной Qn = ktxt и
приложенной в момент времени t = 0. Определить значение максимального
перемещения хм и время /м, при котором оно имеет место.
Ответ:
2.5.3. Предположить, что упомянутый в задаче 2.5.2 импульс прикладывается
точно в момент времени tn, когда масса достигает точки х = хг излома
диаграммы. Определить время tn и амплитуду последующих свободных
колебаний.
* Den Hartog J. P. Forced vibrations with combined Coulomb and viscous
friction.j-Journal Appl. Mech., 1931, v. 53, N. 15, pp. 107-115.
176
Ответ:
t" = -
2.5.4. Предположить, что на систему, изображенную на рис. 2.19, а, с
момента
времени t = 0 действует сила, описываемая ступенчатой функцией с Qn = - ^
-.
1,0
Определить выражения для максимального перемещения хм и времени tM ее
появления.
Ответ:
tM = 3,83 j/~ хм- 3X1
k
2.5.5. Предположить, что на систему, изображенную на рис. 2.19, а, с
момента времени t = 0 действует прямоугольной формы импульс величиной Qn
- kxх. Считая, что импульс прекращает свое действие в момент времени tn,
когда образуется пластический шарнир, определить выражения для
максимального перемещения хм и остаточного перемещения х0ст-
Ответ:
_ 3*1 . _ *i
хм - g > *ост 2~ •
2.5.6. Изображенный на рис. 2.21, а блок смещается из нейтрального
положения на расстояние х0 = 0,254 м, а затем отпускается без начальной
скорости. Блок имеет вес W = 9,08 Н; жесткость пружины k- 1,79-Ю2 Н/м.
Сколько времени будет совершать колебательное движение указанный блок,
если коэффициент трения равен 1/^.
Ответ: 2,26 с.
2.5.7. Предположим, что жесткость пружины, изображенной на рис. 2.21, а
системы k = 4W, где W - вес блока. Если амплитуда свободных колебаний
уменьшается от 0,635 до 0,571 м за 10 циклов, то чему равен коэффициент
трения?
Ответ: 0,25.
2.5.8. Масса, показанная на рис. А.2.5.8, а, соединена с пружинами,
имеющими неодинаковые жесткости, поэтому статическая диаграмма
зависимости нагрузки от перемещения (рис. 2.5.8, б) является
несимметричной относительно начала координат. Предполагая, что в момент
времени t = 0 начальные условия имеют вид х0 = 0 и х0 ф 0, определить
зависимость перемещения и скорости от времени за один полный цикл
свободного колебания.
Ответ:
2.5.9. Пусть каждая из пружин, показанных на рис. А.2.5.9, а,
предварительно сжата усилием Р1 в соответствии со статической диаграммой
зависимости нагрузки от перемещения (рис. А.2.5.9, б). Для начальных
условий Хо = 0 и х0 Ф ф 0 определить зависимость перемещения и скорости
от времени за один полный цикл свободного колебания.
Ответ.'.
Рис. А.2.5.9
2.5.10. Пусть упругая система с кусочно-линейной характеристикой имеет
статическую диаграмму зависимости нагрузки от перемещения, как показано
