Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
4 0,4 3 1,39 1,39 15 1.5 2 3,06 3,05
5 0,5 3 1,96 1,97 16 1,6 3 2,76 2,75
6 0,6 3 2,52 2,52 17 1.7 3 2,47 2,46
7 0,7 3 3,02 3,02 18 1.8 3 2,22 2,21
8 0,8 3 3,42 3,42 19 1.9 3 2,03 2,02
9 0,9 3 3,70 3,70 20 2,0 3 1,89 1,90
10 1.0 3 3,85 3,85
Пример 2. Движение простого маятника, показанного на рис. 2.3 (см. п.
2.1), описывается нелинейным уравнением (2.4а)
Ф + Р2 sin ф = О,
где р2 = glL. Если положить длину L численно равной ускорению g, получим
р2 = 1. Начальные условия возьмем в виде ф0 = л/2, ф0 = 0. В п. 2.2 было
получено точное выражение (2.12) для периода колебания маятника.
Используя начальное условие вида ф0 = фм = л/2 по таблицам
эллиптических интегралов, найдем
k- F (k, я/2) = 1,8541. Отсюда следует, что четверть периода т/4 = kip =
= 1,8541 с. С другой стороны, если взять р = k = 1,8541, то получим т/4 =
1 с. Именно это значение в силу его простоты и будет использовано ниже.
Таким образом, уравнение, которое надо решать численно, имеет вид
ф = -pt sin ф = -3,437687; (т)
при этом начальные условия таковы:
Ф0 = -р2 sin я/2 = -3,437687. (у)
186
2.2. Результаты расчетов для примера 2
ч-с Приближенные значения ф, рад
i Число итераций Метод усредненных ускорений Метод линейных
ускорений
0 0 1,5708 1,5708
1 0,1 2 1,5536 1,5536
2 0,2 2 1,5021 1,5021
3 0,3 2 1,4163 1,4163
4 0,4 3 1,2967 1,2966
5 0,5 3 1,1442 1,1440
6 0,6 3 0,9608 0,9603
7 0,7 3 0,7496 0,7487
8 0,8 3 0,5154 0,5140
9 0,9 3 0,2646 0,2627
10 1,0 4 0,0051 0,0025
11 1,1 2 -0,2546 -0,2577
12 1,2 3 -0,5059 -0,5093
13 1,3 3 -0,7409 -0,7444
14 1,4 3 -0,9530 -0,9564
15 1,5 3 - 1,1376 - 1,1407
16 1,6 3 - 1,2913 - 1,2939
17 1,7 3 - 1,4123 - 1,4142
18 1,8 2 - 1,4994 - 1,5007
19 1,9 2 - 1,5522 - 1,5529
20 2,0 2 - 1,5708 - 1,5708
В табл. 2.2 приведены результаты для 20 шагов по времени (с шагом At = =
0,1 с) как методом усредненных ускорений, так и методом линейных
ускорений. Величина угла ср в момент времени /10 должна равняться нулю, и
метод линейных ускорений дает меньшее из получаемых обоими методами
приближенное значение Ф10. Однако оба метода дают правильное конечное
значение угла ф20 = -1,5708 рад. На рис. 2.25 показан график приближенных
значений угла ср в зависимости от времени.
Пример 3. В качестве второго примера с нелинейной задачей рассмотрим
следующее уравнение движения системы, в которой имеется пружина с
возрастающей жесткостью:
тх + сх -j- k (х -f- ax3) = Q (t) (ф)
или
x + 2nx + p2 (x -ф ax3) = q (t). (x)
Из задачи 2.21 (см. п. 2.2) возьмем следующие данные: т = 1,79 Н-м/с, k =
= 715 Н/м, р2 = 4 с, а= 1,55-10 м, с= Q (t) = 0. Для указанных значений
параметров уравнение, которое необходимо решать численно, имеет вид
х = -р2 (х ах3) = -4 (х 2х2). , (ц)
Подставляя начальные условия х0 = 0 и х0 = 0 в уравнение (ц),
получим
х" = -4 (0 + 0) = 0. (ч)
Результаты, полученные обоими методами с использованием 20 шагов по
времени
с шагом At = 0,025 с, приведены в табл. 2.3. На рис. 2.26 показан график
приближенных значений перемещения х в зависимости от времени.
Максимальное значение, приближенно равное 0,05 м, появляется, как это и
должно быть, вблизи момента времени tlt = 0,30 с.
Хотя примеры с итерационными расчетами из этого параграфа можно решать с
помощью калькуляторов, тем не менее, вычисли-
187
<Р. рал
тельные операции становятся довольно трудоемкими, поэтому лучше
воспользоваться ЭВМ. Для расчетов примеров 1, 2 и 3 методом осред-ненных
ускорений были использованы специальные программы для ЭВМ под названием
соответственно AVAC1A, AVAC2A, AVAC3A. Программы были составлены на языке
БЕЙСИК, тексты их приведены в приложении. Для использования метода
линейных ускорений эти программы легко переделать в программы LINAC1A,
LINAC2A, LINAC3A путем изменения всего нескольких строк в каждой из них.
Кроме того, большинство задач, приведенных в конце этого параграфа, можно
решить, слегка изменив эти же программы.
2.3. Результаты расчетов для примера 3
i tv с Число итераций Приближенные при методе усредненных
ачения х• 10-8, м, ускорений линейных
0 0 0 0
1 0,025 3 0,634 0,635
2 0,050 3 1,27 1,27
3 0,075 3 1,894 1,895
4 0,100 3 2,511 2,512
5 0,125 3 3,107 3,110
6 0,150 3 3,672 3,676
7 0,175 3 4,188 4,194
8 0,200 2 4,637 4,644
9 0,225 2 4,997 5,004
10 0,250 3 5,249 5,2 5&
11 0,275 3 5,377 5,384
12 0,300 3 5,374 5,378
13 0,325 3 5,239 5,241
14 0,350 3 4,982 4,979
15 0,375 3 4,617 4,610
16 0,400 2 4,165 4,154
17 0,425 3 3,646 3,632
18 0,450 3 3,079 3,063
19 0,475 3 2,481 2,463
20 0,500 3 1,864 1,845
188
Если уравнение движения (2.55) является линейным, то при численном
решении можно избежать использования итераций с неявными формулами.
Прямая формула линейной экстраполяции для метода усредненных ускорений
может быть получена подстановкой выражений (2.58) и (2.60) в уравнение
(з), решив которое относительно XI получим
Xt = Qt/m*, (2.75а)
где
т* = т + cAti/2 + k (Ai;)2/4; (2.756)
Qt =Qi - c (Xi_i + x^Ati/2) - k + x^Ati + xt_! {Atifm.
