Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 69

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 178 >> Следующая

(2.75b)
В качестве нагрузки Q, обычно берут его постоянное среднее значение на
шаге Att по времени. Уравнение (2.75а) представляет собой явную формулу
для ускорения хи выраженного через известные к началу шага значения хг-1
и хг_г. Это выражение вместе с выражениями (2.58) и (2.59) позволяет
вычислять xf_1( хг_г и xt_x на каждом шаге. Таким образом, имеем прием
прямой экстраполяции, не зависящий от начального приближения и не
требующий итераций.
Как метод линейных ускорений, так и аналогичные ему методы можно также
применять в сочетании с процедурой прямой экстраполяции. Более того,
уравнение движения для нелинейной системы может быть линеаризовано на
малом шаге по времени, будучи записанным через приращения следующим
образом:
mi_1Aij + ci_1Aij + ^i_1Ax? = AQj. (2.76)
Здесь A Xi, Axi, Axt и AQt - приращения соответственно перемещения,
скорости, ускорения и нагрузки на i-м шаге; тг_ь сг-1 и &г_! - значения
массы, постоянной демпфирования и жесткости в начале каждого шага.
Формулы явной схемы, аналогичные выражению (2.75а), можно записать
относительно приращений ускорения Ахи скорости Ах,- и перемещения Ах*.
При определении приращения перемещения линеаризованных систем, а также
при использовании шаговых графических приемов ** отыскания решения в
случае систем без демпфирования и с возмущающими силами вида кусочно-
линейных функций полезно использовать точные выражения (см. п. 1.15).
Однако, если система является существенно нелинейной, для получения
хороших результатов с помощью любого из упомянутых приемов требуется
применять того или иного типа итерацию и корректирующую процедуру. Таким
образом, когда необходимо прибегать к помощи итерации или коррекции,
может оказаться предпочтительным более прямой подход типа предиктор-
корректор.
* Wilson Е. L., Farhoomand I., Bathe К. J. Nonlinear dynamic analysis of
complex structures. - Int. J. Earthq. Engng. Struct. Dyn., 1973, v. 1, N.
3, pp. 241-252.
**. Jacobsen L. S. On a general method of solving second order ordinary
differential equations by phase-plane displacements.-J. Appl. Mech.,
1952, v. 19, N. 4, pp. 543-553.
189
Более точные, чем описанные здесь, методы можно найти в литературе по
численному анализу *. Наиболее часто используемые подходы основываются
либо на разложении искомой функции х - = F (t) и ее производных в ряды
Тейлора **, либо на использовании формул интегрирования для
полиномиальных интерполирующих функций ***. Они ориентируются на
дифференциальные уравнения первого порядка и отражают ту точку зрения,
что любое выражение вида уравнения (2.55) с производными второго порядка
можно представить в форме двух уравнений первого порядка. Последнюю форму
получаем введением вспомогательной зависимой переменной
х - у. (2.77а)
Подставляя переменную у вместо к в уравнение (2.55), получаем
У = / V, х, у). (2.776)
Уравнения (2.77а) и (2.776) представляют систему двух уравнений первого
порядка, которую можно интегрировать численно, используя параллельные
одинаковые выражения для экстраполяции неизвестных хну. Хотя этот прием и
прост, здесь не удалось обойти тот факт, что уравнение (2.77а) имеет
более специфическую форму, чем уравнение (2.776). Более эффективный
подход состоит в том, чтобы вместо использования параллельной одинаковой
экстраполяции выразить у, а затем и х в виде ряда. Если поступить
согласно сказанному, дальнейшая методология сводится к тому же численному
решению уравнения второго порядка с использованием двух последовательных
экстраполирующих формул для х их, как и описано в данном параграфе.
ЗАДАЧИ
2.6.1. Рассмотреть пример 1, взяв вместо ступенчатой функции линейную
функцию вида Q (t) = 91. Все остальные искомые данные взять из примера 1.
Ответ: х10 ~ 1,93-10"2 м.
2.6.2. Для рассмотренной в примере 1 линейной системы взять Q (t) = 0, а
начальные условия принять в виде х0 = 2,54-10"? м; х0 = -2,54-10"? м/с.
Все остальные данные взять те же, что и в примере 1.
Ответ: х10 я* 1,4 • 10"2 м.
2.6.3. Вновь рассмотреть пример 2, изменив начальное условие: вместо ф0 =
0 взять ф0 = 2,618 рад/с. Все остальные данные взять те же, что и в
указанном примере.
Ответ: ф10 " я/2 рад.
2.6.4. Для системы, рассмотренной в задаче 2.1.1 (см. п. 2.1), с помощью
метода усредненных ускорений определить динамические перемещения при
свобод-
* Carnahan В., Luther Н. A., Wilkes J. О. Applied numerical methods. -
New-York: J. Wiley, 1969. 604 p.
** Runge C. Ober die numerische Ausflosung von Differentialgleichungen. -
Mathematische Annales, 1895, B. 46, S. 167-178. Kutta W. Beitrag zur
naherungs-weisen Integration totaler Differentialgleichungen.-Z. Math.
Phys., 1901, B. 46, S. 435-453.
*** Bashforth F. An attempt to test the theories of capillary attraction
with an explanation of the method of integration employed by J. C. Adams.
- Cambridge: University Press, 1883; Moulton F. R. Differential
equations, - New-York: Macviillan, 1930.
190
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed