Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
параграфе будем рассматривать только диагональные матрицы масс (как это
имеет место в случае, показанном на рис. 3.1, а), тогда уравнение (3.17)
в развернутом виде будет иметь вид
(3.18)
Предположим, что этой системе однородных уравнений удовлетворяют
гармонические решения вида, введенного ранее в п. 3.1, а именно:
*i = *Mi sin (pt + ф); (а)
*2 = хш2 sin (pt + ф). (б)
В представлениях (а) и (б) через хм1 и хм2 обозначены максимальные
значения, или амплитуды, колебательных движений.
Подставляя представления (а) и (б) в уравнения (3.18), получим систему
алгебраических уравнений
5цХМ1 "Ь 512хм2 = 0; (в)
(г)
-р2Михы1
Р2М22ХМ2 + 521XMl -f- S22*M2 =
или в матричной форме
Sn р2Мп S12 S 21 S2 2 Р2М 22
Чтобы существовали ненулевые решения для перемещений, определитель
уравнений (д) должен равняться нулю, что дает
5ц Рг^1ц S12
521 522 ~ Р2М22
Хм1 ' 0 '
Хм2 0
= 0.
(д)
(е)
Разложение этого определителя имеет вид
(5ц - р2М\\) (S22 - p2M22) - S12 = 0
или
М11М22 (р2)2 - (M11S22 -\- M22S11) р2 S11S22 - ¦
>12 :
0.
(ж)
(з)
215
Это характеристическое уравнение является квадратным относительно р2 и
его корни представляют характеристические значения для этой системы.
Решая уравнение (з) по формулам для квадратного алгебраического
уравнения, найдем
2 - b+Yb2 - 4ас
Р'-2 =-------2а--------' (ЗЛ9)
где
cl = МцМ22, b = (M11S22 -|- M22Sn);
t' = SnS22 - Sl2 = |S|. (и)
Подставляя значения (и) в подкоренное выражение Ь2 - 4ас из решения
(3.19), видим, что оно всегда положительно, поэтому корни р\ и р\
являются действительными числами. Далее, если определитель матрицы S,
равный постоянной величине с, не отрицателен, то корень квадратный будет
меньше или равен Ь, поэтому оба корня р\ и р~2 будут положительными (или
равны нулю). Подставляя характеристические значения р'[ и pi в однородные
уравнения (в) и (г), можно записать решения как отношения rL и г->
амплитуд
гг = Т 'S;/.w - -= ; : (3.20а)
ХМ 2,2 ^ 11 ~ Р1 /VM 1 ^21
г, = *мд,а -~Slf _ ^ S,., - ' (3.206)
ХМ 2, 2 S 1 | S21
Оба эти представления для решений справедливы, что видно из уравнения
(ж). Как и в общем случае однородных алгебраических уравнений, здесь
могут быть получены только такие решения, которые содержат произвольные
постоянные. Таким образом, абсолютная величина амплитуд не может быть
определена, а можно найти только их отношения или формы колебаний. Второй
индекс (1 и 2) в выражениях (3.20а) и (3.206) для амплитуд означает
собственные (или главные) формы колебаний, соответствующие корням р\ и
р\-Как и в п. 3.1, решения (3.19) характеристического уравнения записаны
так, что выполняется условие pt < р2. Меньшее значение представляет
круговую частоту первой или основной формы колебаний, а большее
соответствует второй форме колебаний.
Чтобы показать пример вычисления частот и форм колебаний, примем для
системы, показанной на рис. 3.1, а: т1 = т2 - т\ жесткости пружин ky = k2
= k. Тогда Afu = М22 = tn, Sn = 2k, Si2 = S21 = k, S22 = k.
По формуле (3.19) получаем
pi = 3 ~ A. ^ o,382 - ; (к)
r 2 m m 4 '
¦j 3 - j- V 5 k n c, k , ,
pt>^-Чг - 2,618 -. (л)
2 m ' m v '
216
0,SIS.
* I кллллллллммлН
m
ЛЛЛЛЛЛЛМ/'ЛМЛ-
I
777777777777777777^777777^777.:
77777777777777777%77777??777777777 a)
-1,618
к -шшт 1 1 km 1 1
a/vWvwvwJv
I
Al
Рис. 3.13
Подставляя найденные значения этих корней в одно из выражений (3.20а) и
(3.206) для отношений амплитуд, найдем для первой формы колебаний
*м 1, 1
-1 + V 5
%2,! 1 -f- /IT
и для второй формы колебаний %1, а 2
: 0,618
г г'
-1 - У5
1 - V5
-1,618.
(м)
(н)
Разумеется, можно как угодно изменять величину амплитуд этих двух форм,
но их отношение должно оставаться постоянным. На рис. 3.13, а показана
двухмассовая система, колеблющаяся по основной форме, и указаны
безразмерные значения амплитуд, отнесенные к амплитуде колебаний второй
массы. Аналогично на рис. 3.13, б показана вторая форма колебаний; при
этом безразмерные значения амплитуд также отнесены к амплитуде второй
массы.
Если вместо уравнений движения в усилиях взять уравнения движения в
перемещениях, уравнение (3.17) примет вид
FMX
Развернутая форма его такова:
X = 0.
" ЕпМц F 12^22 Хх " *1 ' ' 0 ¦
F 2iAfu F22^22 . Х2 + . *2 . - . 0
(3.21)
(3.22)
Подставляя представления (а) и (б) в уравнение (3.22), получим следующие
алгебраические уравнения:
P2FuMuXMl p2F 12^22хМ2 ¦X'mI - 0; (о)
~Р2Рц^11хMl p2F2iM22Xм2 ~т хм2 - о, (п)
217
которые можно представить в виде ЕцМц- к Fl2M22 F 2iMn F'22М22 - к
•^Ml 0 *
*^М2 0
(Р)
где к = \!р2. Для того чтобы существовали не равные тождественно нулю
решения, должен равняться нулю определитель матрицы коэффициентов (р).
Откуда получаем
(FnMl
Я) (F22M22 - к) - F\2M\\M.22 = О
или
Я2 - (F\\M\\ F22M22)k j- {F11F22 - F2\2) МпМ22 = 0.
(с)
(т)
Уравнение (т) является характеристическим, соответствующим однородным
дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, и его корни
представляют обратные величины квадратов круговых частот. Корни можно
