Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
определить по одной из следующих формул:
Л - d± V<P - 4е
0,2------------о
или
где
d =
Ри 2:
1
О.
4е
¦ (F\\М\\ -(- F22M22)', е -
2 ¦ - d ± Vd2 -
{F11F22 - F12) М\\М22 '¦
(3.23а)
(3.236)
\МиМ22. (у)
В формулах (3.23а) и (3.236) значение О (большее из двух значений к)
соответствует р\ (т. е. меньшему из двух значений р2), а значение к2
(меньшее из двух значений к) соответствует р\ (т. е. большему из двух
значений р2). Оба корня (и их обратные значения) будут действительными и
положительными числами, если положителен определитель матрицы F.
^Подставив характеристические значения О и Я2в однородные уравнения (р),
получим дуальные соотношения для отношений амплитуд Г1 И Г2-
ХМ 1, 1 -F 12^22 F22^22 О .
Hi 2, 2
Г 2 =
ХЫ. 1, 2 ХМ 2, 2
-F12М2 Oi Мп -
' F 12 ^22
FuM,
-F2lMn F 22М22 О
-FgiMu
(3.24а)
(3.246)
правильность которых можно проверить с помощью уравнения (с).
Если снова положить, что в изображенной на рис. 3.1, а системе массы и
жесткости пружины имеют одинаковые значения, то коэффициенты влияния
гибкости будут равны Fn = 8, f12 = F21 = б, F22 = 26 (где б = 1/k).
Тогда по формуле (3.23а) получим
:
(3 + /5 ) mb
~ 0,382 ' (r)
(3 - Кб ) mb
mb
2,618
(X)
218
т. е. величины, обратные (к) и (л). Подставляя найденные значения (ф) и
(к) в выражения (3.24а) и (3.246), найдем отношения амплитуд для первой
формьГ колебаний
гх = =------2-г = + У'5 = 0,618
хм 2,1 1 -)- 5 2
и для второй формы колебаний
хм 1, 2 2 - 1 - УТ
1,618,
%!,2 1 - У 5
которые совпадают с ранее найденными значениями (м) и (н). Отсюда
следует, что частоты и формы колебаний не зависят от выбора формы
уравнения движения.
Определив характеристики колебаний данной системы, можно записать полное
решение для свободных колебаний в виде суммы собственных форм
хг = гххм 2,1 sin (р4 -f- q4) -j- г2хм 2,2 sin (p2t -)- ф2); (н)
хг = *м 2,1 sin (р4 + ф4) + хм 2) 2 sin (p2t + ф2). (ч)
В первом из этих выражений вместо xMlil и хм1)2 используются выражения
/усм2,1 и /усм2,2- Выражения (ц) и (ч) можно записать также в следующих
эквивалентных формулах:
*i = r\ (Ci cos /V + С2 sin р4) -f- r2 (C3 cos p2t + С4 sin p2l)\
(3.25а)
х2 = Cj cos р4 -j- С2 sin р4 + С3 cos p2t -f- C4 sin p2t. (3.256)
Продифференцировав выражения (3.25a) и (3.256) по времени, получим
выражения для скоростей
хг = -рхгг (С4 sin р4 + С2 cos р4) -
-/V2 (С3 sin p2t - С4 cos p2t)\ (3.25в)
х2 = -/?i (Ci sin р4 - С2 cos pxt) -
- р% (С3 sin p%t - С4 cos p2t). (3.25г)
Четыре произвольные постоянные С4, С2, С3, С4 в выражениях (3.25а)-
(3.25г) можно определить, используя четыре начальных условия для
перемещения и скорости. Для системы с двумя степенями свободы в момент
времени t = 0 эти условия будем обозначать х01, *01, х02,х02. Подставляя
начальные условия в выражения (3.25а)- (3.25г), определим
п -*01 г2*02 П -*01 Г2Х02 . /о Г>С\
Cl -, С2--(---_Га)-, (3.26)
р *1*0 2 Г01 . П Г1Х02 - Х01
3~ ri-H ' 4~ P*(ri-rt) '
Для иллюстрации применения этих выражений определяем динамические
перемещения системы (см. рис. 3.1, а) при начальных условиях вида х01 =
х02 = 1 и x0i = х02 = 0. Величины ръ р2, г4 и гг уже известны [см.
выражения (к), (л), (м) и (н) ] для системы,
219
у которой равны массы и жесткости пружин. Подставляя известные величины и
начальные условия в выражения (3.26), найдем следующие значения
постоянных интегрирования: Сг = 1,171, С2 = О, С4 = 0 и С3 = -0,171.
Тогда выражения (3.25а) и (3.256), описывающие новые системы, можно
представить в следующем виде:
хг = 0,724 cos pxt + 0,277 cos p2t\ (ш)
x2 = 1,171 cos p^ - 0,171 cos p2t. (щ)
В данном случае выражения для перемещений системы содержат только функции
косинуса, поскольку равны начальные скорости. Если равны нулю начальные
перемещения, а начальные скорости отличны от нуля, выражения динамических
перемещений будут содержать только функции синуса. Далее, свой вклад в
поведение системы дают обе собственные формы колебаний, за исключением
случаев, когда начальные условия системы совпадают с одной из этих
собственных форм. Например, если начальные перемещения в точности
соответствуют характеру первой формы колебания (х01/*02 = п) при х01 =
х02 = 0, динамические перемещения системы примут вид
Xi - Xqi COS Pit, X2 - Xq2 COS Pit,
что в точности совпадает с первой формой колебаний.
Обобщая сказанное, отметим, что, если, как предполагается, собственные
формы колебаний имеют вид (а) и (б), то можно перейти от однородных
дифференциальных уравнений свободных колебаний, подобных уравнениям
(3.17) или (3.21), к системе алгебраических уравнений. Полагая
определитель матрицы коэффициентов равным нулю, получим
характеристическое уравнение, из которого определяем частоты и формы
колебаний. При таком подходе форма решения является установленной, но
величина вклада соответствующих форм в суммарное динамическое перемещение
должна определяться с помощью начальных условий.
Для того чтобы обсудить несколько особых ситуаций, связанных со
