Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
знаменатель выражения (ж) на -Si2, получим
i=l'2-. (3-30)
Полученный результат означает, что для каждого условия резонанса
при вынужденных колебаниях существует соответствующая
главная форма.
Чтобы построить частотную характеристику для амплитуд установившегося
состояния системы с двумя степенями свободы, необходимо задать конкретные
значения параметров задачи. Таким образом, для двумассовой системы (см.
рис. 3.1, а) возьмем т1 = 2т, т2 = т, k± = k2 = k. Для удобства
графического представления введем обозначение
О k, k , ч
Р~' = 1*Г = -ы (3)
и вычислим по формуле (3.19) характеристические значения для системы,
выраженные через р\:
р? = 0,586р§; pl = 3,414/i (и)
Если через pi выразить матрицу В, получим
1 - со2/(2pi) 1
в=4
(к)
1 2[1 - со2/(2р2)]
где
С = &2 {[2 (1 ~ со2/(2р2)]2 - 1 )• (л)
В этом случае все элементы матрицы В имеют одинаковую размерность,
поэтому для того чтобы сделать ее безразмерной, достаточно просто
умножить ее на k\
Р = kb, (м)
8*
227
РМ Рг/Ра
Рис. 3.17
тогда решения (3.29) примут вид
X = Р (P/k) sin со/.
(Н)
Выражение (и) аналогично выражению (1.24) из п. 1.6. Таким образом,
матрицу р можно рассматривать как матрицу коэффициентов усиления (с
точностью до постоянного множителя).
На рис. 3.17 представлены в безразмерной форме зависимости для
коэффициентов усиления
которые связаны с функцией {PJk) sin со/. Оба эти коэффициента равны
единице при ш = 0; при увеличении частоты со они принимают положительные
значения, что указывает на то, что массы в процессе колебаний имеют
одинаковую фазу с возмущающей силой Рг sin со/. Когда частота со
достигает значения первой собственной частоты pi, оба коэффициента
обращаются в бесконечность. Когда частота со станет несколько большей,
чем частота ръ оба коэффициента примут отрицательные значения,
указывающие на то, что массы находятся в противофазе с возмущающей силой,
по по-прежнему имеют одинаковые фазы друг с другом. При дальнейшем
увеличении_ш оба коэффициента будут уменьшаться, пока при частоте со =
т^2р0 коэффициент ри не станет равен нулю, а коэффициент p2J примет
значение -1. Когда со превысит значения >^2р0, коэффициент ри
О 1 w /\^но)
Р11~ 2 [1 - co2/(2pg)]2 - 1 '
1 - со7(2Ро)
(о)
(п)
228
будет иметь положительные значения, а р21 по-прежнему отрицательные. Это
означает, что массы находятся в противофазе друг с другом, но первая
масса снова имеет одинаковую фазу с возмущающей силой. Коэффициенты
вторично обращаются в бесконечность при со = /?2, а когда частота со
значительно превысит значение р2, перемещения обеих масс будут стремиться
к нулю.
Особенно интересно то, что коэффициент рп становится равен нулю при
частоте (c) = ~y^2p0. При этой частоте первая масса находится в покое,
тогда как вторая движется с амплитудой - Pjk в противофазе с возмущающей
силой. Это видно из выражения (е), где элемент ри матрицы принимает
нулевое значение при частоте
со = S22/M22, (р)
которая в случае двухмассовой системы равна У k2lm2 = У2/?0-Чтобы
показать, насколько удобно пользоваться этим условием, рассмотрим
электродвигатель массой т1, установленный на балку с жесткостью kx (рис.
3.18, а). Вращение вектора силы Рг при неуравновешенном роторе может
вызвать значительные колебания системы, когда круговая частота принимает
критическое значение (c)кР = V kllm1. Для того чтобы подавить эти
вынужденные колебания, присоединим дополнительную массу т2 к имеющей
жесткость k2 пружине, как показано на рис. 3.18, б. Если массу т2 и
жесткость k2 подобрать так, чтобы выполнялось условие У k2lm2 = = сокр,
получим систему с двумя степенями свободы, в которой не будут возникать
колебания, обусловленные колебаниями электродвигателя, поскольку
дополнительная масса колеблется с амплитудой - Pi/k2. Подобная
дополнительная система называется динамическим гасителем колебаний,
поскольку она может предотвратить возникновение колебаний, вызываемых
вращающимися с постоянной скоростью узлами машин, если в системе
отсутствует демпфирование. Для того чтобы спроектировать "гаситель
колебаний", подберем сначала жесткость k2 пружины такой, чтобы амплитуда
- PJk2 была достаточно большой, а затем подберем массу такой, чтобы
выполнялось условие У k2lm2 = (c)кр. Для того чтобы быть эффективным и при
скоростях, отличных от сокр, требуется ввести в систему действительное
сопротивление (см. пример, описанный в конце п. 3.8).
Как^ уже говорилось выше в п. 1.6, вынужденные колебания могут возникать
в результате периодических движений основания.
Предположим, например, что показанное на рис. 3.1, а основание
перемещается в направлении л: Рис. 3.18
229
в соответствии с видом простой гармонической функции хос = = d sin at,
где d - амплитуда перемещения. В этом случае уравнения движения в усилиях
имеют вид
тл = -(хх - л-, сн) + k2 (х2 - хх); (с)
т2х2 = - k2 (х2 - хх). (т)
В матричной форме эти уравнения можно записать
MX -f- SX = Росн sin at. (3.31)
Элементами матрицы-столбца Р(СП в уравнении (3.31) являются максимальные
