Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
приложенным "к ее правому верхнему углу. Определить установившееся
движение массы, присоединенной к незакрепленному концу рамы,
обусловленное этим воздействием.
Решение. Будем исследовать эту систему, используя уравнения в
перемещениях и учитывая, что в данном случае податливости Fu = 4Z3/(3?/),
F12 = F21 = /2/(2?7), F22 = l2/(3EI). Примем так же, что Мг1 = М22 - т.
Подставляя эти значения в выражения (щ) и (э), получим матрицу
1 I - ш2т/3/3?/ ш2т13/2Е1
~Н~ У <i>2ml3/2EI 1 - 4ш2т13/ЗЕ/
Н = 1 - 5ы2т13/ЗЕ1 + 7со4т2/ /36 (Е1)2.
D
где
(и')
(к')
Максимальный момент Т вызывает перемещение массы
232
приложенный статически к верхнему правому углу рамы, расстояние ТК12/(Е/)
в направлении оси х и на
расстояние ТМР/(2Е1) в направлении оси у. Следовательно, матрица-столбец
Аст в этой задаче имеет вид
2
Т 12 1 м'
2EI '
Подставляя это выражение в (3.39), найдем искомое решение
a2ml3 \ Тм/2
xi =
У\
EI
a2ml3
EI
\2EIH
?У2
GEIH
cos at; cos at.
(л')
(м')
K)
3.7. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ ДЕМПФИРОВАНИИ
На рис. 3.19, а показана двухмассовая система с гидравличе сними
гасителями колебаний, имеющими постоянные вязкого демпфирования сг и с2.
Если к системе не приложены нагрузки, уравнения движения в усилиях имеют
вид (рис. 3.19, б)
т1х1= -с1х1 + с2 (х2 - хг) - кгхг + k.2 (х2 - ху);
m2x2 = -с2 (х2 - лу) - k2 (х2 - хг).
В матричных обозначениях эти уравнения запишутся так:
MX +СХ +SX =0,
где
^ ^ Г " I " .4 хг
X 2
Си С12 ' сг -j- с2 С2
Си С22 -с2 С2 _
(а)
(б)
(3.41)
(в)
а остальные матрицы в уравнении (3.41) имеют вид, показанный ранее.
Матрица демпфирования С состоит из коэффициентов влияния демпфирования,
которые можно рассматривать как силы, необходимые для получения единичных
скоростей. Таким образом, про-
/ -VWWWWW-
-±Ь
ч
т, кг -WWWWAAAr т 2
-^с.
'777777777777777777777.
V^77777777777777777^77,
Х\
Г77&77777777777'
т,
а)
кг(хг-*0
6)
Рис. 3.19
т,
233
извольный элемент СД матрицы коэффициентов влияния вязкого демпфирования
представляет собой действие демпфирования типа i, которое уравновешивает
действие демпфирования, соответствующее единичной скорости типа /. Это
определение аналогично тому, которое давалось применительно к
коэффициентам влияния жесткости и инерции, и процедура определения
элементов столбцов матрицы С аналогична той, которая была описана выше
применительно к матрицам S и М. Если следовать указанной процедуре,
матрица демпфирования будет всегда симметричной.
Поскольку в уравнении (3.41) присутствуют члены,
обусловленные влиянием скорости, то и решение однородных
дифференциаль-
ных уравнений будет более сложным, чем приведенное в п. 3.5 для случая
колебаний без демпфирования. Здесь будем искать решения в обобщенной
форме
х1 = А1е'1; (г)
*2 = A,est. (д)
Подставляя представления (г) и (д), а также их производные в уравнение
(3.41), получим систему алгебраических уравнений
Mus2 -(- Cus -)- Su C12s -j- Si2 " л1 0 ¦
C2iS -j- S21 Af22s2 -)-¦ C22s - S22 _ V 0
Для того чтобы существовали нетривиальные решения этой системы,
определитель системы уравнений (е) должен равняться нулю. Отсюда получаем
характеристическое уравнение
(Afus2 -f- Cns -j- Su) (M22s2 4- C22s -j- S22) - (C12s -j- S12)2 = 0,
(ж)
или в иной форме
MuM22S -t- ( rl j j С22 №22Cu)S2 -г (Л1ц522 ~Г C11C22 Д- M22SW -
C?2)s2 -j-
~+-(C11S22 - Ь C22S11 -2Ci25]2) s -j- S11S22 -5?2 = 0. (3)
Уравнение (и) упрощается, если для системы, показанной на рис. 3.19, а,
используются действительные значения Ми = ти Л432 = т3 и т. д. Если
указанные значения подставить в уравнение (и), оно примет вид
тхт^ + [тхс2 + пц (сх + с2) ] s2 + [т^ + схс2 +
+ тг (kL + k3) ] s2 + (c-Jtz + c2kL) s + = 0. (и)
Для решения этого уравнения необходимо воспользоваться тем или иным
численным методом нахождения корней полинома, но общая форма решения
известна и будет подробно обсуждена ниже. Поскольку все коэффициенты
уравнений (к) положительны, то четыре отличных от нуля корня этого
полинома четвертой степени могут быть или^действительными, или
положительными, или комп-плексными с положительными действительными
частями*. Кроме того, эти корни могут быть либо действительными и
отрицатель-
* См. с. 142 кн. Rayleigh J. W. S. Theory of sound, цитированной в п.
1.4.
234
ными, либо комплексными с отрицательными действительными частями. Если
сопротивление мало, система может колебаться свободно; при этом все
отличные от нуля корни будут комплексными. Они образуют комплексные
сопряженные пары чисел и могут быть представлены в следующем виде:
Обозначения тгх и п2 относятся к положительным числам, характеризующим
демпфирование; через рд1 и рд2 обозначены круговые частоты колебаний
системы с демпфированием. Подставляя эти значения корней в уравнение (е),
получим соответствующие значения отношений амплитуд
где j = 1, 2; k = 1, 2. Получаемые при этом значения представляют собой
комплексно сопряженные числа гп, г12 и г21, г22. В результате, общее
