Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
относящиеся к системам с демпфированием.
4.2. ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМ БЕЗ ДЕМПФИРОВАНИЯ
Для систем с п степенями свободы уравнения (3.17) из п. 3.5 свободных
колебаний в усилиях можно представить в общей форме
•MllAf 12^13
М21М22М2з
МтМэгМзз
М1п
М2п
м3п
. М niM п2М л3
м
Х1
х2
Х3
+
SnS12S13 . . ¦ Su *1 0
5.21^22^23 • ¦ S2n 0
5;)1 хя 0
_5"i Sn2Sn3 . _ _ хп _ 0
(4.1)
Предположим, что собственная форма колебаний каждой массы описывается
гармонической функцией вида
X; - Хм; sin (-f- q ;),
(a)
где pi и cpi - соответственно круговая частота и фазовый угол г-й формы
колебаний, в уравнении (а) через Х; обозначена матрица-столбец или
вектор-столбец перемещений г-й формы, а Хмг - то же, относящееся к их
максимальным значениям, или амплитуды колебаний
Л*1 ¦*Ml
*2 Хм2
хг - л'з > ^Мг - *мЗ
_ _ i - Хмп
Подставляя представление (а) в уравнение (4.1), получаем систему
алгебраических уравнений, которую можно представить так:
н,хмг = о,
где Н i - характеристическая матрица вида
Н, = S - рЩ.
(4.2)
(4.3)
Для существования нетривиальных решений системы (4.2) определитель
характеристической матрицы должен равняться нулю,
245
откуда получаем следующую форму хараюперисттеского уравнения: 5ц - p2iM\\
S12 - PiM\2 Si3 - р}М\з . . . Sin - рЖ
н,
S2I - р\М21 522 - р\м.22 S23 - Р^Мъ3 • • • $2п - р\М2п
5з1 - /?fА1з1 S32 - /??Л432 S33 - /??Л4зз • • •
5зп - Р^Мзп
= 0.
PiMnl Sn2 PiMti2 Sn3 PiMn3 • • • Snn PtMnr.
(4.4)
При разложении этого определителя получим полином, где член с наибольшей
степенью имеет вид (p'j)n. Если полином нельзя разложить на множители, то
п его корней можно найти с помощью численной процедуры. Эти корни,
которые ранее были известны как характеристические значения, иногда
называют собственными значениями. Если матрица И является положительно
определенной*, а матрица S либо положительно определенной, либо
положительно полуопределенной, все собственные значения
характеристической матрицы будут действительными, положительными или
равными нулю числами. Однако они не обязательно будут различными, т. е.
отличающимися друг от друга. Вопрос о кратных корнях обсуждается ниже в
п. 4.7.
Векторы, компонентами которых являются амплитуды форм колебаний и которые
обозначаются через Хм;, называются характеристическими векторами или
собственными векторами. Если собственные значения системы были найдены
как корни характеристического уравнения (4.4), то из однородных
алгебраических уравнений (4.2) можно определить собственные векторы (с
точностью до произвольных постоянных).
Поскольку имеется п характеристических значений, будем иметь п
соответствующих векторов, компонентами которых являются перемещения. В
случае некратных корней для различных собственных значений (п - 1)
амплитуды собственных векторов можно выразить через одну последнюю
амплитуду, решая систему (п - 1) алгебраических уравнений. Однако можно
видеть, что такие громоздкие вычисления не требуются, если рассмотреть
формальное определение матрицы, обратной матрице Н,,
нг' =TWP (б>
где Н" - присоединенная матрица. В действительности, конечно, матрица,
обратная матрице Нне существует, поскольку определитель | Н j | равен
нулю [см. уравнение (4.4)]. Тем не менее, приме-
* Матрица, элементы которой - действительные числа, является положительно
определенной, если все ее главные миноры положительны. Если некоторые из
этих миноров равны нулю, такая матрица называется положительно
полуопределенной.
24G
нительно к обсуждаемому здесь вопросу соотношение (б) можно переписать в
виде
Н;Н/ = | Н, 11 = 0. (в)
Сравнивая равенство (в) и уравнение (4.2), можно заключить, что
собственный вектор Хм; пропорционален любому столбцу присоединенной
матрицы И?. Так как собственный вектор может иметь произвольную длину,
его по желанию можно взять либо равным такому столбцу, либо
нормированному.
Если вместо уравнений в усилиях взять уравнения движения в перемещениях,
вместо уравнений (4.1) запишем следующие уравнения [см. уравнения (3.1)]:
F п Fu F13
F,i F 22 F 23
FS1 F33 F 33
F, i F ,-.2 F,:3
Fnn.
'Мп
A'h,
Мн
Л112
М22
М32
М1Я
м2Я
М33
_ М,_1
?
Мы' Мг, М3з
м
X
X1 X1 0
X2 Ao 0
X3 + x3 0
_ Xn _ _ xn _ _ 0 _
(4.5)
Подставляя представления (а) в уравнения (4.5), получим систему
алгебраических уравнений
Ь?Хмг = 0. (4.6)
Здесь Li - характеристическая матрица, определяемая соотношением
L, - FM - АД, (4.7)
где Xi -- 1 !р]. Для существования нетривиальных решений уравнений (4.6)
необходимо, чтобы определитель матрицы Lг равнялся нулю, что в данном
случае приводит к следующей общей форме характеристического уравнения:
- X, X
Fu F12 F n • • I'ln Mu m12 м1л . ¦ Mln~
f 21 F 22 F 23 .. e2. M 21 M.22 M2 3 • ¦ M2l
F31 F" 2 F 33 F3r: M 31 M32 M33 . ¦ M3n
F"i Fn2 ¦ F "3 ¦ ¦ Fnn _ Mnl M,2 M, ,3 ¦
¦ Mlin_
~ 1 0 0 . . . 0"
0 1 0 . .. 0
X 0 0 1 . . 0 = p.
_0 0 0 . • • 1_
(4.8)
