Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
записать
х\ = e~ni (riCi cos pAi + T\C2 sin pj) + r3C3e~UJ + t\C (3.49a)
x2 = e~nt (C1 cos p4 + C2 sin pAt) + С3е~1'^ 4- С4е_"Д (3.496)
Свободные колебания с демпфированием можно рассматривать, используя
вместо уравнений движения в усилиях уравнения в перемещениях. При
указанном подходе дифференциальные уравнения принимают вид
F(MX 4-СХ)4- Х = 0. (3.50)
237
Подробности, связанные с применением такого подхода, аналогичны тем, что
имеют место при использовании уравнений движения в усилиях, и здесь
обсуждаться не будет.
3.8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ ДЕМПФИРОВАНИИ
Пусть на систему, показанную на рис. 3.19, о, действует произвольного
вида возмущающая сила, описываемая комплексной гармонической функцией
общего вида:
Q = Peiat = Р (cos at + i sin at), (a)
где вектор-столбец P имеет тот же смысл, что и в уравнении (3.27)
из п. 3.6. Тогда уравнение (3.41) из п. 3.7 принимает еид
MX + СХ + SX = Ре'и<. (3.51)
Рассматривая только установившиеся вынужденные колебания, будем искать
решения в комплексной форме
X = Аеш. (б)
Подставляя представления (б) и их производные в уравнение (3.51), получим
следующую систему алгебраических уравнений в матричной форме:
(S - со2М + гюС) А = Р. (в)
Решая уравнение (в) относительно А, найдем
А = В*Р. (г)
Подставляя выражение (г) в представление (б), приходим к решению
следующего вида:
Х=В*Ре№<, (3.52)
которое описывает гармонические движения двух масс с круговой частотой
со.
Из соотношений (в) и (г) находим выражение для матрицы В* = (S - ю2М +
/шС)"1. (д)
Эта матрица аналогична матрице В, полученной в п. 3.6, но матрица В*
содержит мнимые части, обусловленные демпфированием. Когда матрица М
является диагональной, развернутый вид матрицы
В* =
где
в г, В *2 1 В22 - С0 УИ22 СИС22 - S12 - IC0C12
Во, В%2 - С* -S12 - К0С21 Sn - со3Л4п - с'иСц
(е)
С* = (Sn - о)аЛ*" -h i(c)Cu) (S22 - со2М,2 -f /ссС.,л) -
- (S12-}~ г'соС12). (ж)
238
-ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛг
7777777777777777%77/
fT (
, ft,,
-ЛЛАААЛЛЛЛЛМг
r b
a
к
Рис. 3.20
Элементы матрицы В* являются коэффициентами влияния, называемыми
комплексными передаточными функциями. В подобных матрицах комплексные
числа представляют собой амплитуды и фазы установившихся колебаний при
наличии демпфирования, обусловленных действием возмущающих сил,
описываемых единичными гармоническими функциями.'
Используя известные формулы для алгебраических операций над комплексными
числами, решение (3.52) можно выразить через действительные амплитуды и
фазовые углы:
где
У а2
¦ ь2
V в Ус
d2
У g2
h2
- Р1 COS (at - 02) + • Pi COS ((tit - 02) -f
d ¦
- S-22 -: coCi.,;
0t_/Vf j 2 i
e = Su
V c2 + d2
V g2 + h2
у e2 + P
v у + h2
b = coC -T O '
P2 cos (со/ - 02); (3.53a)
P2 cos (at - 03), (3.536)
со Ш
cc>
f-
g - (5ц - со2Мц) (S22 - a2M22) - sf2
CO
= s12;
= ooC(1; 2 (CnC;
22
c?2); (3)
h = co[ Cn/S.,., - co2M22) + C2:(SM - oPAk,) ~ 2^,5!,] b-"*(%&)¦¦ =
arctg (.?=?);
= arctg (-Jkf)'
(и)
Пример. Чтобы продемонстрировать приложение к практическим задачам теории
вынужденных колебаний при наличии демпфирования, рассмотрим динамический
гаситель колебаний, показанный на рис. 3.18, б и кратко описанный в п.
3.6. На рис. 3.20 представлена схема подобного устройства с
гидравлическим гасителем колебаний, установленным между основной пц и
дополнительной т2 массами. С учетом демпфирования дополнительную систему
будем рассматривать как динамический гаситель колебаний *, который может
подавлять колебания в машинах с постоянной и переменной частотами
вращения узлов. Как показано на рисунке, к основной массе приложена
вызывающая колебания сила в виде простой гармонической функции Р cos Ш;
коэффициент демпфирования гидравлического гасителя
* Ormondroyd J., Den Hartog J. P. The theory of the dynamic vibration
absorber. - Trans. ASME, 1928, v. 50, N. 1, pp. 9-22.
колебаний обозначен буквой с. Так как основное значение имеет амплитуда
динамических перемещений массы mlt то для этой амплитуды в соответствии с
выражением (3.53а) получим
•^mi :
Р Vв? 4- Ь-2
Vg2 + h2
р V(k2 - 032m2)2 + (озс)2
У[(А - ш'г'т1) (кг - <о2т2) - ш2т2^2]2 + [(шс) (k± - to2ml - ш2т2)]
2 *
(К)
Для того чтобы упростить дальнейшее обсуждение гасителя колебаний, все
следующие величины будем использовать в безразмерном виде:
Дст = Plkx - статический прогиб при действии силы Р; р0 = Уk1/m1 -¦
круговая частота колебаний только одной основной системы;
Рд = Vk^m,
2 //i2 - круговая частота колебаний только одной дополнительной системы;
б = Рд/Ро -- отношение частоты гасителя колебаний к частоте основной
системы;
у = со/ро - отношение частоты возмущающей силы к частоте основной
системы.
С учетом этих обозначений выражение (к) можно представить в виде х1\
4|х2у2 + (у2 - б2)2
----------------------------------------------------------------------(л)
Дет
4|х2у2 (у2 - 1 + Ру2)2 + [P6V - (у2 - 1) (у2 - б2)]2 '
где демпфирование определяется величиной |х = с/2т2р0. Положив |х = 0, из
