Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
решение можно представить в виде
где коэффициенты А1и А12, А21 и А22 - комплексно сопряженные числа,
которые определяются из начальных условий.
Поступая так же, как и в п. 1.8 в случае системы с одной степенью
свободы, решения (3.44а) и (3.446) можно записать в эквивалентной
тригонометрической форме. Для этого первые два слагаемых в решении
(3.446) для х2 представим в виде
действительные постоянные. Соответствующие слагаемые в решении (3.44а)
можно записать в тригонометрической форме, введя обозначения:'
представляющие собой первую пару комплексно сопряженных значений
отношений амплитуд. Тогда первые два слагаемых в решении для хх можно
взять в следующей эквивалентной форме:
rnAneSllt + r12A12es= e~nt [(Саа - C2b) cosplUt -j- (Cxb -f C2a) sin
pnlt].
Su - tii -\- Фдх; si2 ni Фдь
s2i ¦ tz2 -j- ip 2, s22 ¦ ti2 ip ¦2.
(3.42a)
(3.426)
rih =
С 12s jh *S]2
M22s)k + C22 sjk + S'.
'22
(3.43)
Mus% + cn sjk + 5,1
-C21sjk 521
ху = ГцЛце5"' + r12A12es^{ -|- r21es"* -j- г22А.22е^\ (3.44a)
x2 - Anes"f 4- A12es'2t -]- A2ies,it + A22eS!it, (3.446)
Anes"t -f Aues^ = e~n^ (Cj cos pnlt f C2 sin palt),
где
sin рд1/
2 i
Здесь
Ci - Ац -f- Ax2, C2 - i (Лц ^12)
(к)
rn - a + r 12 - a - ib,
(л)
В аналогичной тригонометрической форме можно записать и два последних
слагаемых в решениях для хг и х2, используя действительные постоянные:
С3 = А21 -f- А22; С4 = i (А21 А22) (м)
и обозначения
г21 = с + id; г22 - с - id. (н)
В такой форме общее решение имеет вид
Х\ = е~п'( (nCi cos pAlt + r\C2 sin pR\t) + X
x (r2C3 cos p&t + /'2C4 sin рл21); (3.45a)
где
?~n>' (Cj cos pat + C2 sin Pzit) + e~n*1 (C4cospxJ + C,sin/?n2/),
(3.456)
C\d - C%b , C\b -J- Cpfl .
Al= c[ ' /|== Cl '
C3c C4a . , C3d -j- C4c
I2 = ------с;------, Г2 = ------g---------------------- (0)
- действительные значения отношений амплитуд.
Решения (3.45а) и (3.456) во многом аналогичны решениям для колебаний без
демпфирования [см. выражения (3.25а) и (3.256) в п. 3.5]. Однако они
отличаются от упомянутых более простых выражений несколькими важными
обстоятельствами. Амплитуды колебаний уменьшаются с течением времени в
соответствии с множителем е~nit и е~пг( и постепенно становятся равными
нулю. Кроме того, круговые частоты рл1 и р 2 колебаний с демпфированием
не совпадают с круговыми частотами колебаний без демпфирования. Далее, в
случае с демпфированием имеем четыре формы колебаний, тогда как при
отсутствии демпфирования только две формы. И в заключение отметим, что
первая часть решения хг не совпадает по фазе со второй частью решения х2.
Указанное различие в фазах ясно видно, если записать упомянутые части
решений с использованием фазовых углов:
xi = B[e~n,t cos (pAXt - ад1) + В'2е~пcos (pA2t - ад2); (3.46a)
хг = Вхе ~п<1 cos (palt - ад1) + Вге~п** cos (р J - ад2), (3.466)
где ___________________________
В\ - [ С} + С2; В2 - I7 С3 -j- С4;
By - Вi У w bВ2 - В2 У с~ -)- d'\ (п)
ад1 = arctg ф-; ад2 = arctg ;
Cl С3
а;, = arctg ; ад2 = arctg-^A-. (р)
Таким образом видим, что формы колебаний, получившие определение в
п. 3.5, в рассматриваемой системе с двумя степенями сео-
236
боды с демпфированием отсутствуют. Существующие же в ней собственные
формы колебаний имеют такие фазовые отношения, которые трудно поддаются
анализу. Главные формы колебаний и влияние демпфирования будут обсуждены
в гл. 4 применительно к системам со многими степенями свободы. Если
коэффициенты вязкого демпфирования очень малы, характеристическое
уравнение (и) принимает вид, близкий к случаю отсутствия демпфирования,
поэтому введем следующие упрощающие предположения:
рД1 да Р\; рД2 да р% Л ^ г; г'2 да г2. (с)
При указанных допущениях решения (3.45а) и (3.456) принимают более
простой вид
х1 ^ r1e~n't (С4 cos р4 + С2 sin p-J) + r2e~n^ (С3 cosp2t -f С4 sin p2i);
(3.47а)
х2 да (С4 cos р4 + С, sin ppt) + (С3 cos р4 + С4 sin p2t). (3.476)
Для того чтобы определить постоянные интегрирования Сх, С2, С3 и С4,
подставим начальные условия х01, х02, х01 и х02, заданные при t = 0, в
решения (3.47а) и (3.476) и их производные. Получим следующие выражения
для этих постоянных:
п хл - г-2хо2 . п хтЛ~п1хв г2(лг02+ лх02) . /ггЛ
Cl-------ГХ-Г2 ' Щ (/-! - /¦*) ' ^
п г\х02- Х01 . п л1 (*02 "Ь П2Ха2) - (х01 -\- П2Хп)
Ь3 -. - - , С, 4 .
ri - r2 ; Р2 (ri лг)
С другой стороны, при очень значительном демпфировании все корни
характеристического уравнения будут действительными и отрицательными. В
этом случае решение уже не имеет колебательного характера и может быть
представлено в форме
xl = 4- r2D2e~ -f r3D3e~ и '1 -f /-4П4б"иД (3.48а)
х2 = D4e-"^ + D2e-"^ + + D$-UJ, (3.486)
где ии и2, "з и "4 - положительные числа. Кроме того, постоянные/) 4, D2,
D з и Diy а также тъ г2, г3 и г4 - действительные числа.
Возможна также ситуация, при которой два корня будут действительными и
отрицательными, тогда как два других - комплексно сопряженными с
отрицательными действительными частями. В этом случае решение можно
