Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
перемещениях масс она изменяется незначительно. Требуется определить
характеристические значения и собственные векторы этой системы, используя
уравнения в перемещениях и считая, что ш1 = = тг= /п3 = т и l1= l2= k~ I-
Решение. Матрица масс имеет тот же вид, что и в примере 1, а матрица
податливостей
I
АТ
3 2 1
2 4 2
1 2 3
(Ф)
250
MS// m о
T
L
(I
a)
лг,= 1-
Ц'
0-
0-
/7777
\т
d)
S)
\T
/////
0-
0-
*rr1-y
*r I 1'
'*1T
e)
дг,= /
r2H
Рис. 4.2
Используя эту матрицу, запишем характеристическую матрицу в соответствии
с выражением (4.7):
За - Xi 2а а
2а 4а - Xi 2а
а 2а За - X;
(*)
где а= lm!(АТ). Затем определитель матрицы Н; полагаем равным нулю и
получаем характеристическое уравнение
(Ц) 251
(Xi - 2а) (X2 - 8аХ{ + 8а2) = 0.
Корни данного уравнения в порядке убывания суть
- 2 (2 + V2) а. Х2 ----- 2а, Хя - 2 (2 -
У' 2 ) а.
(ч)
Для того чтобы найти формы колебаний этой системы, построим только первый
столбец матрицы, присоединенной к матрице L;:
1
(4а - Х{) (За - Х[) - 4аа -2а (За - Х() -|- 2а2 4а2 - а (4а - Л;)
(ш)
Последовательно подставляя собственные значения в выражение (ш), после
деления каждой компоненты на величину компоненты хш получим следующие
выражения для собственных векторов:
Хдг 1 - 1 _< 1°^ 1 , Хмз = 1 0 , Хмз - 1 1 - Ю|
1 -1 1
Эти формы колебаний представлены на рис. 4.2, б, в и г.
Описанные в данном параграфе два метода получения характеристических
значений и векторов можно представить единым образом в виде
АХщг =¦ A./Xf/u, (э)
где А - квадратная матрица, элементами которой являются действительные
числа. Уравнение (э) известно как стандартная форма задачи на собственные
значения. Для линейно упругих колебательных систем путем соответствующего
выбора координат матрица коэффициентов А всегда может быть
преобразована к симметричному, положительно или
полуположительно определенному виду. Такая форма
часто бывает предпочтительной в том случае, когда задача на собственные
значения решается численно, поэтому в последующем обсуждении дана
процедура приведения матрицы коэффициентов к симметричному виду.
Уравнение движения (4.6) в перемещениях можно записать, используя матрицы
F и М, в форме
FMX.vi; = Я;ХМ*. (4.9)
Это уравнение имеет стандартную форму (э), но матрица коэффициентов FM
является несимметричной. Произведение матриц F и М не обладает
симметричной структурой, даже если матрица М диагональная, за исключением
специального случая, когда все диагональные элементы равны между собой.
Чтобы получить симметричную матрицу коэффициентов, требуется изменить
координаты. Если матрица М является положительно определенной, с помощью
метода квадратного корня Хо-лецкого * ее можно представить в виде
M = UTU, (4.10)
где U - верхнетреугольная матрица, UT - транспонированная матрица U.
Подставляя представление (4.10) в уравнение (4.9) и умножая его слева на
матрицу U, получим UFUtUXm; = A;UXm;. Это уравнение можно переписать в
виде
= XiXm, (4.11)
где
X(ji = UXm2 (4.12а)
или
Хм; = U'1X(/;1 (4.126)
тогда
F(/ = UFUT. (4.13)
* Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
М.: Физматгиз, 1960, с. 165.
252
Элементами матрицы-столбца [см. выражение (4.12а)] являются амплитуды
форм колебаний, записанные в новой системе координат, где матрица
обобщенных масс представляет собой единичную матрицу. В этих координатах
матрица обобщенных податливостей, представляемая выражением (4,13),
является симметричной, поскольку она получается с помощью преобразования
подобия симметричной матрицы F.
Таким образом, уравнение (4.11) имеет стандартную форму задачи на
собственные значения с симметричной, положительно определенной матрицей
коэффициентов. Очевидно, что это преобразованное уравнение имеет те же
собственные значения Я;, что и исходное уравнение (4.9). Однако
собственные векторы Ху,- и Хмг не являются тождественными. Найдя
выражения собственных векторов Ху, в обобщенных координатах, можно затем
преобразовать их, выразив через исходные координаты с помощью соотношения
(4.126).
Преобразования, задаваемые выражениями (4.12а) и (4.126), упрощаются,
если матрица масс диагональная. В этом случае из выражения (4.10) для
матрицы М получаем
L L М U_1 =(U_1)T=-M_1/2- (4.14)
Здесь М|/2-диагональная матрица с диагональными элементами, равными
квадратному корню из соответствующих элементов матрицы М, а М~1/12-
диагональная матрица, диагональными элементами которой являются величины,
обратные значениям соответствующих элементов матрицы М1^2. Тогда
выражения (4.12а), (4.126) и (4.13) принимают вид
Хуг = М1/2Хш (4.15а)
ИЛИ
Хш =М-1/2Хуг, (4.156)
а также
Fy = М1/2рМ1/2. (4.16)
Уравнение движения в усилиях также можно преобразовать, используя
обобщенные координаты. Сначала представим это уравнение с помощью матриц
S и М в следующей форме:
SXM(..-p?MXM(., (4.17)
которая отличается от стандартной формы уравнения (э), поскольку в правой
части присутствует матрица М. Уравнение (4.17) является задачей на
