Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
силы, передаваемые массам через пружины при перемещениях
основания. В этом случае в матрице Росн только один эле-
мент не равен нулю:
М
Рос
о
(У)
С другой стороны, предположим, что ускорения основания в горизонтальном
направлении описываются выражением вида хосн = = a sin at, где а -
амплитуда ускорения. В этом случае перейдем к новой системе
координат, используя относительные перемещения:
Xi = Х\ Хоси; Хо = Л'2 Х'осн- (ф)
Соответствующие ускорения имеют вид
Х\ =¦ X, Хссн, Х2 r= Х2 -Хосн* (^)
Тогда можно записать матричные уравнения в относительных координатах
MX* -f- SX* = Росн sin at. (3.32)
Для двухмассовой системы, показанной на рис. 3.1, а, матрица-
столбец Росн из уравнения (3.32) такова:
rth
Р*
* ОС
/По
а. (ц)
Таким образом, задачи о вынужденных колебаниях, обусловленных движением
опоры, всегда могут быть представлены в той же математической форме, что
и задача с приложенными к системе возмущающими силами, соответствующими
координатам перемещения. Кроме того, всегда можно определить
эквивалентные нагрузки *, соответствующие перемещениям, обусловленным
приложенными усилиями, не соответствующими этим перемещениям.
Если для исследования вынужденных колебаний воспользоваться вместо
уравнений движения в усилиях этими же уравнениями в перемещениях, то
вместо уравнения (3.27) получим
FMX -J- X = FP sin at, (3.33)
* Gere J. М., Weaver W. Analysis of framed structures. - Princeton; D.
Van Nostrand, 1965, pp. 136-138.
230
и н в развернутом виде
FnMn FuM.,2 Xi " A'i /Т1Л2 ' Pi'
F2]44u Ь22М22 _ x2 + . *2 . 1 : F2\F 22 _ Pi
_
sin со/. (3.34)
Подстановка представления (в) в уравнение (3.34) дает 1 -- 0)2FnAfu -
arFi2M.12
О^/Др'Иц 1 - СО2/-'о ;/И2о
I 4 >1 P12' 1 Ъ 1
A2 II , ^21 F 22 P4
(ч)
D
DuDl2 1
D21D22 ~ H
(Щ)
В этом случае решение для амплитуды А можно записать в форме
А = DFP, (ш)
где D - обратная матрица коэффициентов, стоящих в левой части уравнений
(ч):
1 - co2F22M22 (o2F12M22
to 2F21MIX 1 - (oafuMu
bF F 22*4422) - ti^F^Mw M22- (э)
Элементы матрицы D являются коэффициентами влияния, которые можно
рассматривать как амплитуды при установившемся поведении и при единичных
гармонических перемещениях масс. Подставляя выражение (ш) в систему
уравнений (в), получим решение
s X = DFPsinto/.
Сравнивая выражения (3.35) и (3.29), видим, что
DF = В,
откуда следует
D = BS. (3.366)
Хотя обе матрицы В и S являются симметричными, их
произведение D - обычно несимметричная матрица. Можно также
ввести
обозначение
ACT = FP, (3.37)
используя которое можно представить уравнение (3.33) в иной форме:
(3.35)
(3.36а)
FMX
X - Агт sin со/.
(3.38)
Тогда решение (3.35) будет иметь вид
X = DACT sin со/, (3.39)
аналогичный решению (х) из примера 4, приведенного в п. 1.6. Матрица АСг
состоит из элементов, которые представляют перемещения масс при
статическом приложении нагрузок, равных максимальным значениям функций
возмущающих сил. Как и в выражении (3.37), элементы матрицы АСт
обусловлены приложением сил, соответствующих коэффициентам перемещений,
но такие же элементы могут быть обусловлены либо иным типом сил, либо
движением основания.
Гармонические перемещения основания системы, показанной на рис. 3.1, а,
особенно легко рассматривать с помощью уравнения (3.38).
231
Если, как и выше, взять перемещение основания в виде хпС1, = =.d sin соt,
то матрица-столбец примет простую форму
1
d,
ОО
что соответствует движению системы как жесткого тела. С другой стороны,
если заданы ускорения основания в виде хссн = = a sin со/, то этот случай
является более трудным для исследования. При этом уравнение (3.38),
записанное в относительных координатах [см. выражения (ф) и (х) ], примет
вид
FMX -f- X* = Лс*тsin со/, (3.40)
где
FPne
(б')
Пример 1. Предположим, что в двухмассовой системе (см. рис. 3.1, а)
задано перемещение основания в виде функции синуса х0С11= d sin со/. Так
же, как при построении графиков на рис. 3.17, примем, что т1= 2т, /я2 =
т, кг = к2 = к. Определить установившееся поведение системы, используя
уравнения движения как в усилиях, так и в перемещениях.
Решение. Используя ранее найденные матрицы В [см. выражения (к) и
(л)]
и PochIcm. выражение (у)] для этой системы, можно сразу подставить их в
уравне-
ние (3.29) и получить
*г- [(1 -ч>2т!к) d sin ш1]/[2 (1 -со2т/к)2 ¦-1]; (в')
х2 = d sin coZ/{2 (1 - ш2т/к)2 - 1 ]. (г')
Далее, учитывая, что для податливостей имеем Fu Fa : получим матрицу [см.
выражения (щ) и (э) ]
D
Н
1 - со2тб 2со2тб
со2тб - со2тб
б, F22 = 26,
(д')
где
Н = (1 - 2со2тб)2 - 2со4т262 = 2 (1 - ш2тб)2 - 1. (е')
Подстановка выражений для D и Лст [см. выражение (а)] в уравнение (3.39)
дает = [(1 - (02т6) d sin col]/[2 (1 - co2m6)2 - 1 ]; (ж')
x2 = [d sin Ш]/ [2 (1 - сo2m6)2 - 1 ]
(s')
Учитывая 6 = l/k, видим, что выражения (ж') и (з') совпадают с (в') и
(г').
Пример 2. Предположим, что показанная на рис. 3.8, а рама (см. пример 2 в
п. 3.3) нагружена крутящим моментом Т = Тм cos col относительно оси г,
