Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
выражения (л) находим
у2 -б2 _______________
Дст рб2у2 - (у2 - 1) (у2 - б2) •
(м)
На рис. 3.21 штриховыми линиями показана зависимость амплитуды от частоты
для |х = О, Р= 1/20 и б= 1. Следует отметить, что на рисунке представлены
абсолютные значения функции (м), в то время значения этой функции меняют
знак в точках у = 0,895, у = 1 и у = 1,12.
1 /Д ст
/6 г
и
1 1 li 1 * 1 ГЛ> 1 / \\ Р = о гТ 1 1
¦/3" 20 6-1 / 1 1 . 1 / 1П ~Х S \ /ту Р"°'ю ^ р = 0,32 1 1 \ \
\
Ч к у/ у\\ ' \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ \
= \ \ \ \ " N / / / / N ч л
0,6 0,7 0,8 0,3 1,0 1,1
Рис. 3.21
1,2 ы/р,
240
Другой предельный случай возникает, если взять |х = со. Если
демпфирование бесконечно велико, массы тх и т2 не будут смещаться
относительно друг друга. Таким образом, получается система с одной
степенью свободы, массой т1 и жесткостью пружины kv Для определения
амплитуды вынужденного колебания этой системы воспользуемся выражением
(л), что дает
4,1 __ 1
Д3Т (У2 - 1 + ру2)2 ' (н)
Критическое значение отношения частоты получается приравниванием нулю
знаменателя выражения (и), откуда находим
^ = Ж = 0'976' (0)
Зависимость амплитуды от частоты при р = со также представлена на рис.
3.21 штриховыми линиями. Эта зависимость имеет тот же вид, что и
представленная на рис. 1.22 (см. п. 1.6) для системы с одной степенью
свободы. Для всех остальных значений р резонансные кривые можно построить
с помощью выражения (л). На рис. 3.21 показаны кривые для р = 0,10 и р =
0,32.
Интересно отметить, что все кривые на рис. 3.21 пересекаются в точках 5 и
Т. Это означает, что для двух соответствующих значений отношения у
амплитуды вынужденных колебаний массы тх не зависят от величины
демпфирования. Эти значения можно найти, приравняв абсолютные значения
хМ1,/Дст,получаемые из выражений (м) и (н), что дает
___________У2 - б2__________________ 1 , .
Рб2у2 - (у2 - 1) (У2 - б2) у2 - ! + fly3 ' W
Это же уравнение можно получить из выражения (л), считая, что точки S и Т
пересечения определяют те значения у, при которых величина выражения (л)
не зависит от демпфирования. В общем виде выражение (л) можно записать
*м1 Л4р2 + N
Дет ~ Рц* + С2 ' (Р)
Здесь можно видеть, что правая часть соотношения не будет зависеть от р2
только в том случае, если выполняется соотношение М 'Р = N/Q, откуда
снова получаем уравнение (п). Это уравнение можно представить в следующей
форме:
(у2 - б2) (у2 - 1 - Ру2) = Р62у2 - (у2 - 1) (у2 - б2)
или
г_2т31+Л1±й! + _^==о (с)
У 7 2 + р ^ 2 + р [ '
Из уравнения (с) можно найти два корня у'; и уЗ, которые определяют
значения абсцисс точек S и Т. Затем подстановкой у| и у| в выражения (м)
или (н) определяем соответствующие значения амплитуд вынужденных
колебаний. Используя последнее выражение как более простое найдем
ординаты точек * S и Т:
1 . ^
Дет y'i - 1 + РУ1 '
(*Ml)r = 1
Дет Уз - 1 Ру i
(У)
Значения этих ординат зависят от величин Р и б, определяемых массой и
жесткостью пружин поглотителя колебаний. Соответствующим подбором этих
характеристик можно повысить эффективность поглотителя колебаний.
Поскольку все
* Предполагается, что yj является меньшим из корней уравнений (с); корень
квадратный из выражения (н) берется со знаком минус для того, чтобы
получить положительное значение амплитуды.
241
кривые на рис. 3.21 должны проходить через точки S и Г, максимальные
ординаты этих кривых, дающие значения максимальных амплитуд при
вынужденных колебаниях, будут зависеть от ординат точек *S и Т. !Важно
отметить, что наиболее благоприятное условие будет достигнуто в том
случае, если ординаты S и Т будут равными, для чего требуется, чтобы
выполнялось условие
Yt 1 + PYl У-i - * + PY-i
или
Vi + V; ¦= у •' p ' '
Здесь следует помнить, что у>; и y.J - два корня квадратного уравнения
(с) и что, как известно, сумма корней квадратного уравнения равна взятому
с отрицательным знаком коэффициенту при среднем члене, откуда имеем
2 =_2-1 + 6а + р63
что даст
-р " 2 + р
в=7ТГ (х)
Эта формула указывает способ "настройки" поглотителя колебаний. Если
масса т2 поглотителя выбрана, то становится известной величина Р и тогда
по формуле (х) определяем соответствующее значение б, с помощью которого
находим частоту и жесткость пружины поглотителя колебаний.
Для того чтобы определить соответствующие точкам S и Т амплитуды
вынужденных колебаний, подставим в выражение (у) значение одного из
корней уравнений (с). При правильно построенном поглотителе колебаний
должно выполняться соотношение (х). Для этого случая уравнение (с)
принимает вид
- 2 -0.
1+р 1 (2 + Р)(1+Р)*
откуда находим
Vi. ¦> , +р (' ± ]/ 2 + р ) • (ц)
Далее из выражения (у) получаем
(Лм1)г | / 2 р ('vmi)s
У Р Дет
(")
Положения точек S и Т не зависят от демпфирующих свойств поглотителя
колебаний. Однако максимальные значения ординат кривых зависимости
амплитуды от частоты (см. рис. 3.21) зависят от величины р. Попытаемся
получить наиболее благоприятное условие, подобрав р таким образом, чтобы
