Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 77

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 178 >> Следующая

рассматриваемой точке уравнения движения принимают вид
, (3.14в)
где имеются члены, характеризующие упругое взаимодействие, и отсутствуют
члены, описывающие инерционное взаимодействие. Таким образом видим, что
характер взаимодействия, присутствующего в системе уравнений движения,
зависит от выбора координат перемещений.
В произвольной матрице масс вида (3.14а) ее элементы можно рассматривать
как коэффициенты влияния инерции, которые определяются как усилия,
необходимые для создания единичных ускорений:
3 о 'Ус ' h + h k2l2 - k\l\
. 0 1с . .0с. + k2l2 - k\h k\l\ k2l2
Ус ' Qc '
.0c . Tc .
М
N\\\ M\2 m mli
_ M2\ M22 _ tnli I с + ml\ _
(г)
Произвольный элемент M;j матрицы масс представляет собой усилие типа /,
необходимое для создания единичного (мгновенного) ускорения типа /. Это
определение совпадает с тем, что было дано для коэффициента влияния
жесткости; при этом вычисление элементов столбцов матрицы М проводится
так же, как было описано применительно к элементам столбцов матрицы S. На
рис. 3.10, в и а показан процесс, при котором в качестве характерной
точки для описания движений абсолютно жесткостного стержня взята точка А.
На рис. 3.10, в представлены моменты Мп и М2Ъ необходимые для создания
единичного ускорения уА = 1 при 0А = 0, а также моменты Л41а и Л422 (см.
рис. 3.10, г), необходимые для создания единичного ускорения 0А = 1 при
уА = 0. Для наглядности ускорения изображены так, как будто они являются
перемещениями, а двой-
210
Ные черточки на стрелках при точке А служат напоминанием о том, что эти
стрелки изображают усилия, необходимые для создания единичных ускорений.
Из условий динамического равновесия видно, что коэффициентами влияния
инерции являются величины Мг1 =
= гп\, М.21 = М\2 = ml\ и РА22 = Ic + rnii, что можно также видеть из
выражения (г).
Здесь можно также определить обратные коэффициенты влияния энерции,
которые, по определению, являются ускорениями, обусловленными единичными
силами, и аналогичны коэффициентам влияния податливости. Обратная матрица
М-1 существует в том случае, если матрица М неособенная. Тогда, решая
уравнения (3.6) относительно ускорения X, получим уравнение движения вида
X = M_1(Q -SX).
(3.15)
' ml2 ml2 ' ' 0i " / ¦ 0 0 '
0 ml2 _ Л. + ( _ - kh2 kh2 +
Подобные уравнения можно сравнить с уравнениями в перемещениях [см.
уравнение (3.12)], рассмотренными в предыдущем параграфе. Однако подобный
подход представляет второстепенный интерес и больше в этом параграфе
обсуждаться не будет. Чтобы продемонстрировать проявление взаимодействия
сил тяжести, рассмотрим соединенную пружиной пару маятников (см. рис.
3.4). Их уравнения движения (3.4а) и (3.46), полученные выше, содержат
взаимодействия, обусловленные только упругостью. Однако, если сложить
уравнения (3.46) и (3.4а) и полученное в результате уравнение рассмотреть
совместно с уравнением (3.46) как систему, то получим
(д)
где 7\ = Рф и Т2 = Р%1. Первое уравнение полученной системы представляет
условие равновесия динамических моментов относительно точки А для всей
системы, показанной на рис. 3.4, тогда как второе уравнение представляет
условие равновесия моментов относительно точки В только для правого
маятника. При использовании линейной комбинации исходных уравнений как в
матрицу масс, так и в матрицу сил тяжести вводятся внедиагональные
элементы; при этом исчезает свойство симметрии матрицы жесткости.
Уравнение (д) можно также рассматривать как результат умножения уравнения
(3.9) из п. 3.2 на транспонированную матрицу Ат, где
' mgl mgl ' A' ' + Г2 -
0 mgl _ ) . 02. . T2 .
А =
¦ 1 O' ' 1 1 '
_ 1 1. , AT = . o i.
(е)
а буква "т" обозначает транспонирование. Таким образом, уравнение (д) в
кратком матричном представлении имеет вид
АТМ0 + Ат (S + G) 0 = АтТ.
(ж)
211
Симметрия матриц коэффициентов будет восстановлена, если перед матрицами
столбцами 8 и 0 из уравнения (ж) поставить единичную матрицу
I == АА-\ (з)
где А-1 - матрица, обратная матрице А:
1 О -1 1
А_1 =
(и)
В результате уравнение (ж) примет вид
АтМАА-10 + Ат (S + G) АА-'в = АтТ
или
где
MA0A + (SA + GA)0A = TA, 0А = А_10 =
(к)
(3.16)
АтТ
01 + 02
7\+ Т2 Т,
01 ' '2 1 '
0А = А Ч) = . -01 и- 02 . ; МА = АТМА = тР . 1 1 _
ATSA = Ш
G , -- ATGA = mgl
О О
0 1 2 1
1 1
(л)
Уравнения (3.16) представляют вариант системы уравнений движения в
усилиях, в которых в качестве обобщенных усилий выступает матрица-столбец
ТА, а в качестве обобщенных перемещений - матрица-столбец 0А. Подобная
замена координат (переход от 0 к 0А) называется преобразованием
координат. Симметрия матриц преобразованных коэффициентов устанавливается
благодаря тому, что конгруэнтные преобразования вида МА = АТМА приводят к
симметричным матрицам. Как видно, в новых координатах уравнения имеют
члены, описывающие как инерционные взаимодействия, так
взаимодействия сил тяжести, и не имеют членов, характеризующих
взаимодействия, обусловленные упругостью.
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed