Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
перемещения системы будут убывать вдоль участка D'C'B'A' кривой. Таким
образом, можно видеть, что при уменьшении частоты возмущающей силы
амплитуда должна измениться скачком из точки Е' в точку D', поскольку в
случае со < a>Kp имеется только одно решение.
Как было показано К- Клоттером *, штриховая и штрихпунк-тирная линии на
рис. 2.12, б очерчивают область неустойчивости; при этом точки на кривой
E'G' относятся к таким условиям, которые не могут быть обнаружены в
реальных физических системах. Таким образом, точка Е' делит правую ветвь
частотной характеристики на устойчивую верхнюю часть E G' и неустойчивую
нижнюю часть Е'Н'.
В случае пружины с уменьшающейся жесткостью при постепенном увеличении
частоты возмущающей силы от со = 0 до со > сокр амплитуда установившегося
состояния будет изменяться по кривой С'F'H'G'/'J' (см. рис. 2.13, б). С
другой стороны, если постепенно уменьшать частоты возмущающей силы с со >
сокр до нуля, то реакцию системы будет описывать участок J'l'G'D'F'C'. В
первом случае произойдет перескок из точки Н' в точку G', где фазовый
угол изменится от 0 до 180°. В последнем случае имеется перескок из точки
D' в точку F', где фазовый угол вновь изменяется от 180° до 0. Здесь
область неустойчивости ограничивается вертикальной линией о/р = 0 и
кривыми, описываемыми уравнениями (2.35) и (2.36). Таким образом, точка
Я' делит левую часть графика частотной характеристики на неустойчивую
верхнюю часть В'Е'Н' и устойчивую нижнюю часть С'F'Н'.
Рассмотрим теперь задачу, описываемую уравнением Дюффинга с вязким
сопротивлением, где сила демпфирования пропорциональна скорости (с
коэффициентом пропорциональности п). В этом случае уравнение движения
может быть записано в виде
х + 2пх + р2 (х + р*3) = q cos at. (2.37)
Установившееся состояние при вынужденных колебаниях теперь будет включать
в себя фазовый угол ф, поэтому первое приближение возьмем в форме
х = ,сх cos (at - ф) = ах cos at + bx sin at, (б)
где с? =й? + bu tg ф = bi/a{. Для того чтобы методом усреднения Ритца4
определить две постоянные ах и Ьх, воспользуемся
* Klotter К., Pinney Е. A comprehensive stability criterion for the
forced vibrations of non-linear systems. - Journal Appl. Mech., 1953, v,
20, N. 1, pp. 9-12.
6 Тимошенко С. П. и др. 161
дЬумй уравнениями системы (2.28), которые в этом случае примут вид
Г
J [х + 2пх + р2(х ± (ах3) - qcostot] cos со/ dt = 0;
о
г
J [х + 2/глс + р2 (х ± рх3) - q cos со/] sin со/ dt = 0. о
Подставив в эти уравнения представление (б) для х и проинтегрировав,
получим следующие уравнения:
- fl^co2 -f- 2nab1 -f- р2ах ^glCl q- 0; (в)
- bxсо2 - 2/гсой! + р2Ьх ± Зр ^lCl == 0. (г)
Используя соотношения йх = су cos if и b1 = су sin if, найдем
2/гсосу sin if ^- со2 -f- Р2 ± Зр %Cl ) су cos if - q = 0; (д)
- 2/гсосу cos г]) -f- (- со2 -f- р2 + ¦ 3p^Cl 'j Cl sin if = 0. (e)
Умножая уравнение (д) на cos if, а уравнение (e) на sin if и складывая
их, придем к уравнению
- со2 -}- р2 + -ррс1- = -Л- cos if. (ж)
С другой стороны, умножая уравнение (д) на Н и if и уравнение (е) на cos
if и вычитая из первого уравнения второе, найдем
2/гсо = -У- sin if. (з)
Возводя в квадрат уравнения (ж) и (з) и складывая их, имеем
- со2 + р2 ± + 4/г2со2 = (J-)2. (2.38)
Почленное деление уравнения (ж) на (з) дает
if = arctg _ w2 + р2± зр2К2/4 • (2-39)
Последние два уравнения связывают амплитуду су и фазовый угол if с
частотой со возмущающей силы для произвольно заданных значений параметров
р2, р, п и q. Если постоянную демпфирования п положить равной нулю, то
получим, что фазовый угол примет значение 0 или л, fcj = 0 и у = аъ тогда
уравнение (2.38) примет вид уравнения (2.30), полученного выше для случая
отсутствия демпфирования.
162
С,
еа
С
О Ь)рп/р Ир 1р I
Рис. 2.15
ш/р
О
< щ^/рш^р
Рис. 2.14
Для того чтобы построить график частотной характеристики, преобразуем
уравнение (2.38) в следующие две формы:
где первая и вторая формы будут использоваться для случаев пружин
соответственно с возрастающей и уменьшающейся жесткостями.
При отсутствии демпфирования эти уравнения принимают вид уравнений (2.31)
и (2.32). Правые части уравнений (2.40) и (2.41) уже не представляют
собой уравнений прямых линий, поэтому в данном случае графическое
построение частотной характеристики является более сложным, чем при
отсутствии демпфирования. Тем не менее, общий вид результирующих графиков
сходен и представлен на рис. 2.14 и 2.15 для пружин соответственно с
возрастающей и уменьшающейся жесткостями.
Штриховая кривая на рис. 2.14 имеет тот же смысл, что и аналогичная
кривая, получаемая по уравнению (2.33), а геометрическое место точек, в
которых частотная характеристика пересекает эту кривую, соответствующую
случаю свободных колебаний, можно найти, решая систему двух уравнений (2.
33) и (2.40). В результате получим
где Шрез - резонансная частота; с1 рез - резонансная амплитуда. Уравнение
(2.42) описывает семейство гипербол в плоскости сг и а!р (см.
