Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
массы кинетическую энергию, равную gh. Разделив выражение (ш) на т,
получим р2 / (х) = ах5//л; тогда соотношение (2.6) примет вид Ек max = gh
= ах2/6т = = ?цт"5- Откуда находим
/ Qmgh \ 6
Пример 2. Получить выражение для начальной скорости, которая необходима
для того, чтобы масса в задаче 2.1.5 (см. п. 2.1) "перескочила" из
положения с 0 < <С я/2 в положение с 0 > я/2.
Решение. Воспользовавшись энергетическими представлениями, видим, что
начальная скорость должна быть по крайней мере такой, чтобы начальная
кинетическая энергия была равна потенциальной энергии, накопленной в
пружине, когда она занимает вертикальное положение (0 = я/2). Изменение
длины пружины при отклонении от вертикального положения можно представить
в виде А = / (1 - sin 0). Тогда потенциальная энергия, накопленная в
пружине, Еп гаах = /гЛ2/2 = kl2 (1 - - sin 0)2/2. Приравнивая это
выражение начальной кинетической энергии массы, получим условие
"прощелкивания"
х0;>/(1- sin Q)\f k/rn- (э)
ЗАДАЧИ
2.2.1. На рис. А.2.2.1 показан буфер, установленный в тупике
железнодорожного пути. Буфер имеет пружину с возрастающей жесткостью,
которая дает вос-танавливающую силу вида F (х) = k (х -ф- ах3), где k --
7,15-104 Н/м и а = 3,1 х X 103 м~2. Приняв, что вес вагона W= 1,75-105 Н,
а его скорость при подходе к тупику составляет 0,254 м/с, определить
максимальное перемещение буфера, максимальное значение восстанавливающей
силы, а также время (считая, что удар происходит при t = 0), за которое
оно будет достигнуто. Считать, что масса буфера мала по сравнению с
массой вагона и что после удара между ними сохраняется контакт.
Ответ: хм = 5,4-10"2 м; Рм = 3,89-104 Н; т/4 = 0,308 с.
2.2.2. Предположить, что пружины буфера из задачи 2.2.1 заменены на
систему таких, которые дают восстанавливающую силу в виде функции
тангенса, как показано на рис. А.2.2.2. Пусть жесткость k= 7,15-104 Н/м,
а предельное перемещение, при котором восстанавливающая сила становится
бесконечно боль-
146
Шой, составляет х1 = 0,254 м."Определить максимальные перемещения хм и
восстанавливающую силу Рм.
Ответ.-. хм = 0,121 м, Ри = 1,07-104 Н.
2.2.3. Пружины с увеличивающейся жесткостью, установленные в буфере из
задачи 2.2.1, заменены на систему пружин с уменьшающейся жесткостью,
которые дают восстанавливающую силу в виде функции гиперболического
тангенса, как показано на рис. А.2.2.3. Для указанного случая считать,
что тангенс угла наклона кривой в начале координат k= 1,79-105 Н/м и что
предельное значение восстанавливающей силы, которое может обеспечить
конструкция буфера, Рг - 4,54 X X 106 Н. Определить смещение и силу Рм,
которые возникают при столкновении вагона с буфером.
Ответ: хм = 8,02-10~2 м, Рм = 1,44-104 Н.
2.2.4. Решить задачу 2.2.3 для случая восстанавливающей силы, описываемой
экспоненциальной функцией (рис. А.2.2.4).
Ответ: хм = 8,07- 10"а м, Рм = 1,42-104 Н.
2.3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
В общем случае точное решение нелинейного дифференциального уравнения не
может быть получено, поэтому здесь могут быть применены только
приближенные методы. В любом случае нелинейные колебания можно описать
соответствующим образом подобранными
147
функциями времени, удовЛетййряюЩймй некоторым специальным критериям. В
данном параграфе будут рассмотрены два широко известных метода,
основанных на использовании упомянутых приближенных представлений.
Метод последовательных приближений. Если отклонение характеристики
пружины от линейного закона сравнительно мало, уравнение движения при
свободных колебаниях системы с одной степенью свободы без демпфирования
может быть представлено к следующей форме:
х + р2х \- а/ (х) = 0, (2.13)
где а - малая величина; / (х) - полиномиальная функция с минимальной
степенью х, не меньшей двух. Для систем, в которых кривая зависимости
нагрузки от перемещения симметрична относительно начала координат, имеем
П
/М=?±* 1*'1- (а)
i=i
Обычно подобный случай получается при оставлении только второго
положительного члена в выражении (а) и подстановке этого выражения в
уравнение (2.13). При этом уравнение движения принимает вид
х + р2х + ах3 = 0. (2.14)
Один из методов для описания движения подобных квазилинейных систем
состоит в определении периодических решений путем последовательных
приближений *.
Допустим, что в момент времени i = 0 начальные условия для системы имеют
вид х0 = хм, х = 0. Предположение о гармоническом законе движения
линейной системы, заменившей действительную систему, дает следующее
выражение:
х = хы cos pit, (б)
где через обозначена круговая частота заменяющей системы. Выражение (б)
можно рассматривать как первое приближение решения уравнения
(2.14), удовлетворяющее заданным начальным усло-
виям. Поскольку коэффициент а мал, можно предположить, что круговая
частота не существенно отличается от частоты р линейной системы, и тогда
можно записать
Р2 = Р? + (Р2-Р?). (в)
где р2 - р\ - малая величина. Подставляя выражение (в) в уравнение
