Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
1.15.1. Определить выражение для скорости х;, поделенной на частоту р,
для случая, когда реакция системы при колебаниях без демпфирования
определяется выражением (1.76д).
Ответ:
i
Л- = - х0 sin ptt + cos pt i + - sm p (ti - tj) +
/=1
+ sin p(tf - 0j)1-
1.15.2. Определить выражение для скорости хг, поделенной на частоту р,
для случая, когда реакция системы при колебаниях без демпфирования
определяется выражением (1.77д).
Ответ-.
= -Х0 Sin pit + COS ptt -1- -j- ^ [Qj-1 [ ~ Sin p (lti - tj) +
/=i
+ sin p {ti - (,-_*)] + [ - A tj sin p {ti -tj) +
-y cos p x
X(fi - tj) ~ COS p (ti tj-!) ] > .
1.15.3. Получить выражение, аналогичное (1.75в) для кусочно-линейной
интерполяционной функции, используемой для представления импульсного
воздействия с помощью горизонтальных полос (см. задачу 1.13.2).
Ответ:
xi - ~?~ I AQo(l - cos pt{) + -дjj ^A/j- + sin р (ti tj)
/=1
- sin р (ti t j) ] } •
1.15.4. Определить выражение для скорости х*, поделенной на частоту
рд, для случая, когда перемещение системы при колебаниях с демпфированием
представляется выражением (1.766).
Ответ:
^± = e-nMi Г - х{_! sin рд + Xt-1 + nXi~1 cospx&tt ^-x
Рд L Рд Рд
X (хг_! cos рд A ti + Х1-1+р"Х-- sin рд А] + -^ e^h ^ 1 + j Х
Xsin рд Atf.
* Вычисления, необходимые для решения задач этого^п ар аграфа,
рекомендуется выполнять с помощью программ на ЭВМ. Для этого на языке
БЕЙСИК составлена программа с разделением времени под названием CONFORCE
(вычисление перемещений при действии возмущающей силы, представляемой
кусочнопостоянной функцией); распечатка текста программы приведена в
приложении. Аналогичную программу под названием LINFORCE (возмущающая
сила представляется кусочно-линейной функцией) можно получить путем
изменения в программе CONFORCE операторов для вычисления конечных
разностей в рекуррентных формулах, на которых основываются эти программы.
128
1.15.5. Получить самостоятельно результаты, приведенные для случая
2
в табл. 1.2 (см. пример 1). При повторных применениях выражений (1.76в) и
(1.76г) использовать форму, аналогичную табл. 1.1.
1.15.6. Получить самостоятельно результаты, приведенные для случая
3
в табл. 1.2 (см. пример 1). При повторных применениях выражений
(1.76в) и
(1.76г) использовать форму, аналогичную табл. 1.1.
1.15.7. Получить самостоятельно результаты, приведенные для случая
4
в табл. 1.2 (см. пример 1). При повторных применениях выражений (1.77в) и
(1.77г) использовать форму, аналогичную табл. 1.1, но с дополнительными
столбцами.
1.15.8. Используя показанный на рис. 1.56 метод кусочно-постоянной
интерполяции, определить и построить график для перемещения в системе с
одной степенью свободы и без демпфирования, на которую действует
возмущающая сила, представляемая функцией в задаче 1.12.7. Использовать
постоянный по времени шаг Дti = lj/10 и рассмотреть отрезок времени 0 ^ t
^ tx. Начальные условия суть х0 = х0 = 0, величины и k равны единице.
Сравнить полученные результаты с точным решением этой задачи, считая, что
= т/2.
Ответ: х10 = 4/3 (точное значение).
1.15.9. Задачу 1.15.8 решить, используя метод кусочно-линейной
интерполяции, показанной на рис. 1.57.
1.15.10. Задачу^1.15.8 решить, используя для функции, описывающей
возмущающую силу, выражение из задачи 1.12.8.
Ответ: х10 = 2/3 (точное значение).
1.15.11. Задачу 1.15.10 решить, используя метод кусочно-линейной
интерполяции, показанный на рис. 1.57.
1.15.12. Используя показанный на рис. 1.57 метод кусочно-линейной
интерполяции, для описанной в примере 2 системы определить и построить
график (на отрезке времени 0^1^ 1,0) зависимости перемещений реакции от
времени при действии возмущающей силы, заданной ниже:
ti, С .... 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Qi, Н .... -37,7 -61,3 -69,6 -64,9 -52,7 -37,2
ti, С .... 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Qi, н .... -15,9 16,8 50,1 68,5 78,5
Ответ: 6,93-10 2 м.
5 Тимошенко С. П. и др.
Глава 2
СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
2.1. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
При обсуждении в гл. 1 колебательных свойств систем с одной степенью
свободы предполагалось, что сила, возникающая в пружине, всегда
пропорциональна ее перемещениям. При этом было обнаружено, что случай
вязкого демпфирования, когда демпфирующая сила пропорциональна скорости,
гораздо легче поддается рассмотрению, чем другие способы рассеивания
энергии. Для того чтобы избежать математических трудностей, в п. 1.10
было введено представление об эквивалентном вязком демпфировании. Кроме
того, масса всегда считалась неизменной во времени. В результате
сказанного уравнение движения такой системы является обыкновенным
линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами вида
Это уравнение очень хорошо описывает многие практические задачи и играет
центральную роль в линейной теории колебаний. Однако имеется также
множество физических систем, для которых линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами являются недостаточными для
