Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
равна 2, что не намного отличается от случая ступенчатой функции.
Поскольку практически невозможно получить равный нулю отрезок времени,
интересно указать, что бесконечно малый, но конечный отрезок времени
приводит практически к тому же результату. При t1'^% величина хы не
намного превышает значение хст, а при достаточно большом отрезке времени
нагрузку, по существу, можно рассматривать как статическую.
Пример 2. Рассмотрим случай импульса прямоугольной формы (см. рис. 1.51,
а), воздействующего на систему с одной степенью свободы и демпфированием
(см. рис. 1.42, а). Указанную функцию для возмущающей силы можно
представить в виде суммы ступенчатой функции (равной Qx), заданной в
момент времени t = 0, и второй ступенчатой функции (равной -Qx), заданной
в момент времени t = Таким образом, безразмерные перемещения (при t ^ /,)
системы с демпфированием могут быть описаны выражением (см. пример 3 из
п. 1.12)
JL. = Гcos рд ^ _ ti) _|_ JL sjn рд ^ _ f,) 1 _
Лст L Рд J
- e~nt (cos p.At + -j- sin pAt) . (c)
Требуется получить выражения для частотной характеристики и времени
возникновения максимальных значений перемещений.
115
Решение. Выражение (с) можно упростить, используя тригонометрические
формулы, и тогда после преобразований получим
-^- =-- e~nt (A cos pRt -ф- В sin pRt), (т)
ЛСТ
где
А = enti (cos sinp^!^ - 1; (у)
(sin Pj\ti -- cos Pjjti j . (Ф)
\ P Д ' P я
B = ent*
Дифференцируя выражение (т) по времени и приравнивая результат нулю,
найдем
'-=-к',аг(р%-1лв); (х)
, р"В - пА . рпА + пВ
sin р^м = ^----; cos pAtM = , (ч)
где С = (рд я2) (Л - В-у
Подставляя представления (ц) в выражение (т), после приведения подобных
членов получим
JL. = е-п<м V'i+ e2nti ~~ 2entl cos р^. (ч)
Когда постоянная демпфирования полагается равной нулю, выражение (ч)
принимает тот же вид, что и (ж) для случая отсутствия демпфирования.
Описанные в данном параграфе примеры приводят к простым выражениям для
отношений tM/x и хм/хст, но не следует забывать, что они относятся к
исключительным случаям. В общем же случае трудно определить интервал
времени, в течение которого возникнет максимальное значение перемещений в
системе. Кроме того, уравнение относительно отношения tMlx может быть
решено простыми способами. Поэтому значения хм/хст и tK/x надо получать с
помощью метода последовательных приближений, задавая последовательные
значения для безразмерного времени tjт. Для каждого значения t1h1 можно
построить график зависимости х/хст от tlx, откуда получить значения
хм/хст и tM/x.
ЗАДАЧИ
1.14.1. Построить графики для частотной характеристики и времени <м/т
появления максимальных значений перемещений в зависимости от tjx для
показанной на рис. А. 1.14.1 функции возмущающей силы (представление для
перемещений взять из задачи 1.13.1).
1.14.2. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.2 функции
возмущающей силы (представление для перемещений взять из задачи 1.12.4).
1.14.3. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.3 функции
возмущающей силы (представление для перемещений взять из задачи 1.13.4).
1.14.4. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.4 функции
возмущающей силы (представление для перемещений взять из задачи 1.12.3).
1.14.5. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А. 1.14.5
параболической функции вида Q = Qyl-lt'i (представление для перемещений
взять из задачи 1.13.6).
1.14.6. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.6
параболической функции возмущающей силы вида Q = Qj (1 = (представление
для перемещений взять из задачи 1.12.5).
Рис. А. 1.14.5 Рис. А. 1.14.6
1.14.7. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.7
тригонометрической функции возмущающей силы вида Q = Qi cos ntl(2t^f
(представление для перемещений взять из задачи 1.13.7).
1.14.8. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.8
тригонометрической функции возмущающей силы вида Q = Qt sin ntl(2t{)
(представление для перемещений при 0 ^ t ^ 2А взять из задачи 1.12.7;
причем эту формулу надо получить также для времени t ^ 2/j).
Рис. А. 1.14.7
1.14.9. Построить график для безразмерных перемещений х/хст и для
времени tMlt появления максимальных значений перемещений в зависимости от
tjт для рассмотренного в примере 2 случая с демпфированием, взяв
коэффициент демпфирования у = 0,1.
117
/-VWWWW-
-±>
с
п 7 *
>>$>>
1.15. ЧИСЛЕННЫЕ СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Рис. 1.54
Во многих важных для практики 77777 задачах функции, описывающие
возмущающие силы, не удается выразить в аналитическом виде, поэтому их
представляют либо в виде набора точек на диаграмме, либо в виде таблиц. В
подобных случаях иногда можно аппроксимировать исходные данные с помощью
формул, применяемых в методах построения кривых по точкам, и затем
подставлять полученные зависимости в интеграл Дюамеля. Однако более общий
подход для определения динамического поведения систем состоит в
использовании некоторых простых интерполяционных функций в периодически
