Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
времени, в качестве значения импульса прямоугольной формы (или
ступенчатой функции). При этом для сохранения заданной точности решения
может потребоваться большее число шагов по времени, и при вычислении
может стать значительной ошибка округления. Для того чтобы избежать
указанных трудностей, можно воспользоваться интерполирующими функциями
более высокого порядка. На рис. 1.57 показан логически вытекающий из
сказанного способ представления импульсного возмущения с помощью
наклонных линий и вертикальных полос. Для этой интерполяции кусочно-
линейного типа переме-
* Решение задачи о колебаниях системы без демпфирования с кусочно-
постоянным типом интерполяционной функции возмущающей силы можно получить
графическим способом, построив на фазовой плоскости, где в качестве осей
координат выбраны х и xlp, зависимости для перемещений, которые будут
иметь форму дуг
окружностей. См. Lamoen J. Etude graphique des vibrations de systemes a
un seul degre de liberte. - Revue Universelle des Mines, de la
Metallurgie, des Tra-vaux Publics, Ser. 8, 1935, t. 11, N. 7, p. 213-226;
Jacobsen L. S., Ayre R. S. Engineering vibrations. New York; McGraw-Hill
Book Co., Inc., 1958. 564 p.
121
Q
щение системы с одной степенью свободы и демпфированием на интервале
времени может быть представлено в следующем виде:
X = cos />д (t - tul) + Х1-г +р(tm)и1 Sin рл (t - tiS) J -f
+ X1 {* ~ [sin /?д(^ - ti_i) + sin рд (t - *"_i)]} +
+ шг -f - +[ ircos p"
5ln/7n(/ - /f_0]}" (1.77a)
P2n - "-
Р'Рд
где AQ = Qi-Qj_x. Последнее слагаемое выражения (1.77a) переписано из
решения для задачи о колебаниях с демпфированием, когда возмущающая сила
описывается линейной функцией (см. задачу 1.12.9). В конце t'-го
интервала времени выражение (1.77а) будет иметь форму
*ui ~ sin рл j + Огл х
х i = e~nAti
xi-l COS PR Ati +
Рд
X
[ 1 - e~*"i (cos pn Ati H sin p д Ati)} + ^ [Mi - +
Pjl
/ 2n pi - n? \
~nAti C0S Px Ati - Sin P* Ati J
(1.776)
Если демпфированием пренебречь, из этого выражения получим
xi - xi-1 cos р Ati + -^-sin р Ati + ~%Ml - cos р Ati) +
Р
Д Q.
(1.77в)
122
откуда находим выражение для скорости
~ = - xi-1 sin Р bti + х1 cos р Ati + sin p Att - \- X
X(1 -¦ cos/? Atj). (l-77r)
Выражения (1.77в) и (1.77г) представляют собой рекуррентные формулы,
аналогичные формулам (1.76в) и (1.76г) для импульса прямоугольной формы.
Для того чтобы определить перемещение только в момент времени t-t для
случая отсутствия демпфирования при кусочно-линейной интерполяции, можно
взять следующий вариант формулы:
?
- = х0 cos pti + sin pti + -j- ^ {Qy_! [COS p (ti - tj) -
/=1
- COS p (ti - tj_j)] + [Atj cos p (ti - tj) + -y sin p (ti - tj) -
--y Sin p(ti -/;_!)]}, (1.77Д)
где последняя группа слагаемых взята из задачи 1.13.4.
Пример 1. На рис. 1.58, а-г показаны четыре различных способа
представления функции возмущающей силы с использованием вертикальных
полос. На всех
9* 9*
в) Случай 3 я) Случай 4
Рис. 1.58
123
Рис. 1.59 Рис. 1.60
этих рисунках применяются постоянные шаги по времени A/ = tJlO. Первые
три случая относятся к импульсам прямоугольной формы, тогда как последний
- к импульсу трапецеидальной формы (с использованием кусочно-линейной
интерполяции). В подходах, к которым относятся рис. 1.58, а-в, величины
импульсов определялись значениями ординат кривой соответственно в начале,
конце и середине шага. Для удобства сравнения указанных случаев была
выбрана описываемая уравнением
Q - cos [nf/(2<|)] (а)
кривая, для которой известно точное решение при отсутствии демпфирования
(см. задачу 1.13.7):
Qi ( nt 2п/ \ "
х==- (со5ж~С05-(б)
где
Р= 1/[1-(т/4/j)*]. (в)
В качестве специального случая положим = т/2, и тогда выражение (б)
примет вид
4<?! / . nt nt \
х=ж{5тж~С051Г)- (г)
Вычислить и представить графически изменения перемещений во времени для
системы при колебаниях без демпфирования на интервале времени 0 ^ / < tx
для четырех способов представления кривых, показанных на рис. 1.58, а-г.
Предполагается, что начальные условия при t = 0 х0 = 0 и х0= 0 и что
величины и k равны единице.
Решение. Для первых трех случаев воспользуемся выражениями (1.76в) и
(1.76г); в свою очередь, выражения (1.77в) и (1.77г) применимы для случая
4. Согласно исходным параметрам в этом примере имеем Л/г = т/20,
рД/г=я/10 = = 18, cos рЛ/г = 0,951, sin рД/г = 0,309, 1 - cos рД/г =
0,0489, рД/ - sin рД/; = = 0,00514.
Полученные решения удобнее представить в табличной форме, поэтому в табл.
1.1 приведены все шаги вычислений для первого случая.
Вначале можно заполнить первые шесть столбцов в таблице, поместив
начальные значения х0 и х0/р (в данном примере равные нулю) на первой
строке столбцов
124
1.1. Решение для случая 1 из примера 1
l 2 3 4 5 6
< Ci.
I HI* 1 Afj/fi Q Qt!k 0 a 1 < Q. С tf5
dr|-" d7|-"
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,1
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 1,000 0,987 0,951 0,891 0,809
