Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
нахождения максимального значения перемещения, а также момента времени,
когда оно возникает, нужно рассмотреть выражение (1.67) для t ti. Это
выражение можно переписать в безразмерной форме
(а)
в указанном случае можем считать
*м/*ст = 2, t т/2.
(б)
COS р (t - t]) - cos pt.
(в)
Дифференцируя это выражение по времени, получим
= р [sin pt - sin p(t - /j)[.
Xn> p
CT
(r)
112
Приравнивая выражение, стоящее в скобках, нулю, получим уравнение
для времени ?м возникновения максимального значения пере-
мещения
sin ptM = sin р (/" - tj, (д)
откуда находим
ptm - ~2~ + "^Г-*
Из решения (е) следует, что время tM линейно зависит от t±. Кроме того,
поскольку интерес представляют значения ptlt относящиеся к области 0 <
pt1 < я, то соответствующей областью для ptM является я/2 < ptM < я.
Подставляя выражение для ptM, получаемое из (е), вместо значений pt,
стоящих в (в), найдем
^-=У 2(1 - cos ptj). (ж)
Ху
Хп<
2 sin ¦
Выражение (ж) совпадает с выражением (3) из п. 1.12, которое было
получено с помощью другого подхода. Таким образом, спектральная
характеристика для импульсов прямоугольной формы может быть представлена
в следующем виде: при 0 < tjт < t!2 имеем
2 sin
Л t-i
при tjт ^ 1/2
т
40+4).
имеем
т
¦ = 2;
_ _1_
" ~2~
(1.74а)
(1.746)
(1.74в)
(1.74г)
Графики безразмерных зависимостей xJxCT и tjт от tjx представлены на рис.
1.52, а и б. Из выражения (1.74а) видно, что если длительность импульса
меньше, чем т/6, динамическое перемещение будет меньше обусловленного
статическим приложением нагрузки. С другой стороны, если длительность
импульса лежит между т/6 и т/2, отношение xJxCT располагается между 1 и
2. Разумеется, когда tx ^3 т/2, значение xjxcr всегда равно 2.
а)
Рис. 1.52
113
В свете сказанного представляет интерес то обстоятельство, что график
зависимости коэффициента усиления для вынужденных колебаний представляет
собой спектральную характеристику в соответствии с определением,
приведенным в данном параграфе. На рис. 1.33 в п. 1.9 представлено
семейство кривых зависимости Р = хм/хст от отношения частот а/р. Следует
напомнить, что кривые относились только к установившейся части поведения
системы и построены были для различных значений коэффициентов
демпфирования. Если бы при этом были учтены неустановившиеся части
перемещений при колебаниях, то кривые спектральных характеристик (см.
рис. 1.33) располагались бы несколько выше, но незначительно. Более того,
хотя демпфирование имеет большое значение в задачах о вынужденных
колебаниях, оно часто не учитывается при рассмотрении спектральных
характеристик, обусловленных импульсными воздействиями.
Низкие значения коэффициентов демпфирования имеют незначительное влияние
на указанные максимальные амплитуды, которые возникают еще до того, как
рассеется значительная часть энергии. Однако в семействе кривых,
описывающих спектральные характеристики при демпфировании, каждая кривая,
которая соответствует значению коэффициента демпфирования, может быть
всегда построена для возмущающей силы произвольного вида. Для простых
случаев это можно сделать, используя при решении соответствующие
аналитические выражения для функций, но в более сложных случаях следует
прибегать к численным подходам.
Пример 1. На рис. 1.53, а представлена функция, описывающая возмущающую
силу, линейно изменяющуюся от нуля до Qx за время tu а затем остающуюся
постоянной. Перемещение системы с одной степенью свободы и без
демпфирования при действии указанной возмущающей_силы представляется в
следующем виде (см. задачу 1.13.2):]
,-4-Гц- anpd-O-sinWI
к L Pt 1 J
114
Определить для указанного случая спектральные характеристики и
соответствующие временные функции.
Решение. Из выражений (з) и (и) видно, что максимальное значение
перемещения будет иметь место после времени Таким образом, здесь
представляет интерес только выражение (и), которое перепишем в
безразмерном виде
X 1
--= -т [рк + sinp(^ - tj) - sin pt], (к)
ЛСТ Р* 1
Дифференцируя выражение (к) по времени, получим
X 1
--~ -j [cos р (t tx) cos pt\. (л)
ЛСт *1
Полагая выражение, стоящее в квадратных скобках, равным нулю, получим
уравнение относительно времени
cos ptM = cos р (tM - ti), (м)
откуда найдем
ptм = Я + -Щ- . (и)
Как и в ранее полученном случае, время t№ линейно зависит от tlm Кроме
того, из выражения (м) следует, что величина ptM принимает значения в
интервале ptyC> п. Подставляя решение (н) в выражение (к), получим
^7=1+-|rsin'^L = 1±irlA2(1_cos^l)- (0)
Это выражение дает как максимальные, так и минимальные значения хм1хС1,
которые зависят от величины ptx. Для максимальных значений этих величин в
интервале t ^ tx имеем
Xq.j- 3X^2
_*м 1 /. , t
т
ntl
т
(п)
=-т(1+4)- <¦"
На рис. 1.53, бив представлены графики соответственно для выражений (п) и
(р). Как видно из этой частотной характеристики (см. рис. 1.53, б),
наибольшее значение *м/*ст= 2 возникает при t - 0, что соответствует
случаю ступенчатой функции. При ^ ^ я/4 величина хм1хсг приблизительно
