Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
0,707 0,588 0,454 0,309 0,156 1,000 0,987 0,951 0,891 0,809
0,707 0,588 0,454 0,309 0,156 0,0489 0,0483 0,0465 0,0436
0,0396 0,0346 0,0288 0,0222 0,0151 0,0077 0,309 0,305 0,294 0,275
0,250 0,219 0,182 0,140 0,095 0,048
7 8 9 10 11 12
i < Q. V) О < Q. с < С С с < i a. n xi A p
1 H 1 i Q. ^ 1 O.
X X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0,0407 0,181 0,388 0,643 0,914 1,166 1,364 1,477
1,482 0 0,015 0,059 0,126 0,209 0,297 0,379 0,443 0,480 0,481 0 0,294
0,555 0,752 0,857 0,854 0,738 0,514 0,201 -0,175 0 0,095 0,180
0,244 0,278 0,278 0,240 0,167 0,065 -0,057 0 0,049 0,190 0,408
0,676 0,961 1,226 1,434 1,553 1,558 1,432 0 0,309 0,584 0,790 0,901
0,898 0,776 0,540 0,211 -0,184 -0,608
с номерами соответственно 11 и 12. Тогда величины для второй строки
столбцов 7-10 подсчитываем по следующим формулам:
столбец 7 *0 cos pAtt - 0;
столбец 8 *0 sin pAtx = 0;
столбец 9 J (x0/p) cos pAtr = 0;
столбец 10 (xjp) sin pAt2 = 0.
125
1.2. Перемещения для примера 1
ч/ч Случаи Точное решение
1 2 3 4
0,0 0 0 0 0 0
0,1 0,049 0,048 0,049 0,049 0,049
0,2 0,190 0,187 0,189 0,189 0,190
0,3 0,408 0,397 0,404 0,403 0,404
0,4 0,676 0,652 0,666 0,665 0,667
0,5 0,961 0,917 0,942 0,941 0,943
0,6 1,226 1,156 1,195 1,193 1,218
0,7 1,434 1,332 1,388 1,386 1,408
0,8 1,553 1,416 1,489 1,488 1,504
0,9 1,558 1,383 1,475 1,474 1,484
1,0 1,432 1,223 1,332 1,331 1,333
В этой точке величины хх и xjp можно подсчитать по выражениям (1.76в) и
(1.76г), после чего подставить соответственно в столбцы 11 и 12; при этом
имеем
столбец 11 = столбец 5 -f- столбец 7 -f- столбец 10;
столбец 12 = столбец 6 - столбец 8 -f- столбец 9.
Все последующие строки таблицы записываем по тем же правилам, что и для
первой строки.
Аналогичным образом можно рассмотреть остальные три случая из данного
примера, полученные таким образом для всех четырех случаев перемещения.
Их точные значения приведены в табл. 1.2. Графики, построенные по
полученным результатам, приведены на рис. 1.59, где сплошной линией
представлено точное решение. Как и следовало ожидать, кривая, относящаяся
к случаю 1 (см. рис. 1.58, а), лежит выше кривой для точного решения,
тогда как в случае 2 (см. рис. 1.58, б) - кривая лежит ниже точного
решения; в случаях 3 и 4 (см. рис. 1.58, в и г) эти кривые практически
совпадают с точным решением, но из сопоставления числовых данных из табл.
1.2 следует, что оба способа интерполяции дают значения, несколько
меньшие, чем точные.
Пример 2. Пусть система с одной степенью свободы без демпфирования имеет
жесткость пружины k = 1,787-103 Н/м и период собственных колебаний т= 1,2
с. Возмущающая сила Q изменяется во времени так, как показано на рис.
1.60, а. Числовые данные для силы Q приведены в столбце 3 табл. 1.3. Как
видно из рис. 1.60, а, в качестве интерполирующей выбрана кусочно-
постоянная функция с постоянным шагом по времени Л/, = 0,1 с. В качестве
значения каждого импульса прямоугольной формы выбрано значение ординаты
кривой в середине шага. Кроме того, предполагается, что начальные условия
в данной задаче: х0 = 0 и х0 = 0 при t = 0. Вычислить и построить график
перемещения системы на интервале времени 0 ^ f ^ 1,6 с.
Решение. В рассмотренном примере имеем Д/г/т = 1/12, phti - п/6 = 30°,
cos p&ti = 0,866, sin pA/i = 0,5, 1 - cos рД/j = 0,134. В табл. 1.3
приведены все этапы вычислений, а на рис. 1,60,6 построен график
зависимости перемещения от времени.
126
1.3. Решения для примера 2
1 2 3 4 5 6
<
cl р-
I tv С Aty с н О) о о <
I а.
к 1 В . т г
<э7 h 1 ° "hi
0 0 _
1 0,1 0,1 11,35 6,35 0,84 3,17
2 0,2 0,1 20,88 11,7 1,57 5,84
3 0,3 0,1 41,77 23,4 3,12 11,7
4 0,4 0,1 86,26 48,3 6,48 24,1
5 0,5 0,1 86,26 48,3 6,48 24,1
6 0,6 0,1 29,96 16,8 2,23 -8,38
7 0,7 0.1 -41,77 -23,4 -2,85 - 11,7
8 0,8 0,1 -54,48 -30,5 -4,09 - 15,2
9 0,9 0,1 -38,14 -21,3 -2,84 - 10,7
10 1,0 0,1 -31,78 - 17,8 -2,39 -8,89
11 1,1 0,1 - 57,66 -32,3 - 4,32 - 16,1
12 1,2 0,1 -72,64 -40,6 -5,43 -20,3
13 1,3 0,1 -42,22 -23,6 -3,17 - 11,8
14 1,4 0,1 6,81 3,81 0,51 1,90
15 1,5 0,1 50,85 28,4 3,81 14,2
16 1,6 0,1 50,85 28,4 3,81 14,2
7 8 9 10 11 12
. < 3
i < < С 1 С 7
О. Cl СО о с СО 1 О
О " у | .5 ел 7 с J о г
МО 1 но VH ф 1 1 ГН _ 1 1 Cl2 г -
н к •х* к -н к А"4
0 _ 0 0
1 0 0 0 0 0,84 3,17
2 0,74 0,432 2,74 1,58 3,89 8,18
3 3,38 1,96 7,06 4,09 10,6 16,8
4 9,17 5,28 14,6 8,41 24,0 33,4
5 20,8 12,0 28,9 16,7 44,0 41,0
6 38,1 22,0 35,5 20,5 60,9 21,9
7 52,7 30,4 19,0 11,0 60,5 -23,1
8 52,4 30,3 -20,0 - 11,6 36,8 -65,5
9 31,8 18,4 -56,7 -32,8 -3,76 -85,8
10 -3,28 - 1,88 -74,3 -42,9 -48,5 -81,3
11 -42,0 -24,3 -70,4 -40,7 -87,0 -62,3
12 -75,4 -43,5 -53,9 -31,1 - 112 -30,7
13 -96,9 -56,0 -26,6 - 15,3 - 115 17,5
14 - 100,0 -57,7 15,2 8,76 -90,7 74,8
15 -78,6 -45,4 64,8 37,4 -37,3 124
16 -32,3 - 18,7 108 62,2 33,7 141
127
ЗАДАЧИ*
