Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
1.13.2. Ответ:
•(тг-т?)-
а
-М'
ptl
sin p(t - ti) - sin pi _
t > ii
Рис. A.1.13.1
1.13.3. Определить закон движения системы с одной степенью свободы и без
демпфирования, если перемещение опоры задано в виде, показанном на рис.
А.1.13.3.
Ответ:
х - dx (1 - cos pt) - (dt + rf2) $1П Pt
Pti
¦)' °
dx cos pt - d2 cos p (t - tx)
di d2 Pti
[sin p (t - tx) - sin pt], t>>ty
1.13.4. Определить закон движения системы с одной степенью свободы и
без демпфирования, если ускорение опоры задано в виде, показанном на рис.
А.1.13.4.
Ответ:
ai
(1 - cos pt) ¦
d<l d\
hr
sin pt
Pti
[cos p (t - tx) - cos pt] -
%
sin p (t - tx) - sin pt pt[
+ cos p(t - tx.
>]
t > tx.
109
Рис. А. 1.13.3
Рис. А. 1.13.4
1.13.5. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без
демпфирования, если перемещение опоры задается, как показано на рис. А.
1.13.5, в виде параболической функции вида
*on = d[l-({- hf/^-
Omeem:
г 2 2t t2 1
х = d \ -тггг (1 - cos pt - pty sin pt) + --rr , 0 ^ t ^ ty,
L P'tj 11 ty J
( 2 )
x - d '-^rr [cos p (t - ty) - cos pt - pti sin pt] + cos p (t - ty); , t
> ty.
I I )
1.13.6. Определить реакцию системы с одной степенью свободы без
демпфирования, если ускорение опоры задается,-как показано на рис.
А.1.13.6, в виде параболической функции вида хоп = at-/t\.
Ответ:
**-¦Мт-79Г"-е"'4
х* =-----\ ( ,2' [cos pt - cos р (t - ty) + pty sin p (t - M] +
P I P~lI
+ cos p (t - <x)| , t > ty.
Рис. A.I.13.5 Рис. A.1.13.6
1.13.7. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без
демпфирования, если перемещение опоры задается, как показано на рис. А.
1.13.7, в виде тригонометрической функции *оп= d cos ntl2ty.
Ответ:
х = d (cos at - cos pt) P, со = я/2/, 0 ^ ty\ x = -d [cos pt -ф (ш/р) sin
p (t - ty)] P, t ^ ty.
110
1.13.8. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без
демпфирования, если ускорение опоры задается, как показано на рис. А.
1.13.8, в виде тригонометрической функции хоц= а [1 -sin (ntl2tx)].
1о^_Ответ\
х* = -? 1 - cospl - ^sincol - -у- sin pt'j р J , со =
COS р (t- tx) - cos pt -
>p(t~tx) - -y sin p/J pj,
t > tx.
Рис. A.I.13.7
Рис. A.I.13.8
1.13.9. Используя решение, полученное в примере 4, для показанной на
рис. 1.50 системы без демпфирования, определить амплитуду свободных
колебаний, которые будет совершать кабина лифта после затормаживания
подъемного механизма.
Ответ: ____________
, " Via 1 / , pv0
А* = -5- I/ 1 - cos --. р2 У а
1.14. ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Импульсные воздействия, рассмотренные в пп. 1.12 и 1.13, вызывали
колебательные движения упругих систем; максимальные значения возникающих
при этом перемещений могли быть или меньшими, или равными, или большими,
чем соответствующие перемещения при статическом нагружении. В общем
случае максимальное значение динамического перемещения зависит от
характеристик системы и от природы нагрузки. Для системы с одной степенью
свободы без демпфирования период (или частота) собственных колебаний
является характеристикой, которая определяет характер поведения системы
при действии заданной возмущающей силы. Кроме того, форма и длительность
импульса возмущающей силы сами по себе оказывают важное влияние на
характеристики системы. Графики зависимости максимальных значений
перемещений от некоторых параметров системы или функции возмущающей силы
называются частотной характеристикой. Такие зависимости представляют
интерес для конструкторов, поскольку они позволяют предсказать отношение
максимального значения динамического напряжения, возникающего в
конструкции, к соответствующему статическому напряжению. Представляет
интерес также и время, когда возникает максимальное значение
динамического перемещения си-
111
6)
Рис. 1.51
стемы, поэтому в данном параграфе будут обсуждаться как эта зависимость,
так и частотная характеристика.
Рассмотрим импульс прямоугольной формы, показанный на рис. 1.51, а и уже
подробно обсужденный в п. 1.12. В данном параграфе положим, что импульс
прямоугольной формы длительностью t1 - т/2 таков, что способен вызвать
максимальное значение перемещения хм = 2Qlk. Это максимальное значение
равно тому, что имеет место при внезапном приложении силы Qx бесконечной
длительности (в виде ступенчатой функции). Таким образом, импульсу
прямоугольной формы, длительность которого превышает т/2, всегда будет
соответствовать перемещение, максимальное значение которого в 2 раза
превышает перемещение системы при статическом нагружении. Используя
обозначение
Если длительность импульса прямоугольной формы меньше, чем т/2,
максимальное значение перемещения будет меньше, чем '2л;ст. Примеры,
иллюстрирующие сказанное, приведены на рис. 1.51, б, где представлены
зависимости перемещений при t1 = т/10 и t1 = = 2т/10. Во всех подобных
случаях перемещение приобретает максимальное значение после завершения
действия импульса, поскольку скорость на интервале времени t1 является
положительной [см. выражение (ж) в п. 1.12]. Отсюда следует, что для
