Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Р J /(!-"**)[! + "(1 + U2)/2]
4i/2 Г__________________________du_
Т Р У v J \Г(1- и2) [(2 + Dj/D + a*] ' W
О
Используя таблицы эллиптических интегралов, найдем
(т- f)' (°)
du 1
Vг (а2 - и2) (62 + и2) о
где F(a/c, ф) - эллиптический интеграл первого рода. В представлении (о)
используются следующие обозначения 3: с2 = а2 + Ь2\ sin2 ф = с2/[а2 (b2 +
1)].
Сравнивая интегралы (н) и (о), получаем а2 = 1; Ь2 = (2 + v)/v.
Следовательно, имеем с = j/2 (1 + и)/и, ф = arcsin 1 = я/2. В результате
выражение (н) принимает вид
TrbF(Vw*А)- <2-9>
143
Если отклонение характеристики пружины от линейного закона очень мало,
можно получить а и и равными нулю. Тогда выражение (2.9) сводится к
выражению (з), соответствующему случаю линейной восстанавливающей силы. С
другой стороны, если коэффициент а и скорость v очень велики, первым
членом в выражении (к) можно пренебречь. Следовательно, величина 1 + v в
выражении (2.9) становится примерно равной v, откуда приходим к выражению
для периода колебаний т:
Формула (п) совпадает с (2.86) за исключением появившегося в ней
вместо р2х3. Для любого промежуточного случая, находящегося между этими
двумя крайними, необходимо вычислять числовые зна-
соответствующее значение эллиптического интеграла.
В предшествующих выкладках рассматривался случай пружины с
увеличивающейся жесткостью [см. выражение (к)], когда восстанавливающая
сила увеличивается с ростом перемещения. Теперь рассмотрим случай пружины
с уменьшающейся жесткостью и возьмем следующее выражение для
восстанавливающей силы:
Проделывая те же выкладки, что и ранее, вместо выражений (л) и (н)
получим
где sin ф = 1/а. Сравнивая интегралы (т) и (у), находим а2 = 1, № = (2 -
v)!v, ф = я/2. Следовательно, выражение (т) принимает вид
Как и выше, для любых значений коэффициента а и скорости v период т можно
без труда определить с помощью выражения (2.10), используя таблицы
эллиптических интегралов.
7,4164
(п)
множителя -yfа, что объясняется наличием р3ах3 в выражении (к)
чения величины У v! [2 (1 + v) ] и определить с помощью таблиц
p3f (х) = ц2 (х2 - ах3).
(Р)
*м = ± рхMV 1 - ахй/2;
(с)
(т)
о
В таблицах интегралов используется форма
du 1
(у)
[а2 - и2) (Ь2 - и2)
о
144
Путем соответствующего подбора коэффициента а в выражениях (к) и (р)
можно получить приближенное описание различных случаев пружин как с
возрастающей, так и с уменьшающейся жесткостью. В более общем случае,
когда восстанавливающая сила может быть представлена в виде полинома p2f
(х) = р2 (х + ах2 + + Р*3), задача также может быть решена с помощью
эллиптических интегралов *.
Другой пример симметричного вида восстанавливающей силы, для которого
может быть получено точное решение, представляет собой маятник (см. рис.
2.3). Здесь уравнение движения [см. уравнение (2.4а) в п. 2.1] имеет вид
ф + р2 sin ср = 0, где р2 = g/L. В данном случае угловых колебаний
соотношения (2.6) и (2.7) принимают следующую форму:
ч>м
Ек шах = Фм = Р% j f (Ф) <*ф = ?д maxi (2.1 1 а)
4 С 4ф
~Р~ J Г %
(2.116)
М
¦J
0 |/ 2 |/(ф)4ф
Для маятника из указанных соотношений получаем
Фм =±РV 2(1 cos(рм); (ф)
<jlM
т = -L Г _^= J*L-----------. (х)
Р J Y2 (COS ф - cos фм) р ,) Vsin2 (фм/2) - sin2 (ф/2)
о о
Вводя обозначения k sin (ф.,/2) и новую переменную 9, такую, что
sin (ф/2) = k sin 9 - sin (фы/2) sin 9, (ц)
найдем
, 2k cos 0 40 / ,
d(p = =-. (ч)
pH - k2 sin2 0
Подставляя выражения (ц) и (ч) в (х) и учитывая, что согласно соотношению
(ц) переменная 9 изменяется от 0 до л/2, тогда как угол ф изменяется от 0
до фм, получаем следующее выражение периода колебаний:
л /2
4 1 а0 A-F{k, я/2), (2.12)
т)
рД - k2 sin21 о r
* Duffing G. Erzwungene Schwiungungen bei veranderlicher Eigenfrequenz. -
Braunsweig: F. Vieweg und Sohn, 1918, 134 S.; Weigand A. Die Berechnung
freier nicht-linearer Schwingungen mit Hilfe der elliptischen
Funktionen.-Forschung auf dem Gebiete des Ingenieurwessens, 1941, B. 12,
N. 6, S. 274-284.
145
которое имеет стандартную форму эллиптического интеграла первого рода.
Числовые значения интеграла из выражения (2.12), соответствующие
различным значениям k, можно получить из таблиц.
Если максимальное угловое перемещение <рм маятника мало, мала и величина
k и, следовательно, можно пренебречь слагаемым k2 sin2 0 в выражении
(2.12). При этом интеграл становится равным я/2, а период собственных
колебаний маятника при малых углах наклона принимает значение т = 2я/р.
Пример 1. Предположим, что контейнер, содержащий закрепленную на пружинах
массу т, падает с высоты h на цементный пол. Восстанавливающая сила, с
которой пружины действуют на массу, в соответствии с экспериментами может
быть приближенно представлена в виде
F (х) = ах5, (ш)
где х - перемещение массы относительно контейнера. Определить
максимальное перемещение массы относительно контейнера при условии, что
во время падения контейнера на пол происходит неупругий удар.
Решение. При внезапном ударе упавший контейнер имеет отнесенную к единице
