Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
описания движения, поэтому для исследования подобных систем необходимо
рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения.
Если не учитывать возможности изменения массы, общий вид уравнения
движения системы с одной степенью свободы можно представить в следующем
виде:
В дальнейшем системы с нелинейными характеристиками будем рассматривать
как нелинейные системы, их движение как нелинейные колебания, или
нелинейное динамическое поведение. С самого начала следует отметить, что
принцип наложения, неоднократно использовавшийся в гл. 1, неприменим для
нелинейных систем. Например, если увеличить в 2 раза величину функции
возмущающей силы, то соответствующие перемещения нелинейной системы не
обязательно будут удваиваться. В общем случае нелинейные колебания не
являются гармоническими и их частоты изменяются в зависимости от
амплитуды.
тх сх = kx = F (t).
(2.1)
тх + F (х, х, t) = 0.
(2.2)
130
Рис. 2.1
Один из важных типов нелинейности возникает в том случае, когда сила
отпора пружины не пропорциональна ее деформациям. На рис. 2.1, а показана
кривая зависимости нагрузки от перемещения для нелинейно-упругой "пружины
с возрастающей жесткостью", где угол наклона кривой увеличивается с
ростом нагрузки. Штриховая линия на рисунке является касательной к кривой
в начале координат, ее угол наклона k характеризует начальную жесткость.
Аналогично на рис. 2.1, б представлена кривая зависимости нагрузки от
перемещения для нелинейно-упругой "пружины с уменьшающейся жесткостью",
где угол наклона касательной уменьшается с увеличением нагрузки. На обоих
рисунках кривые симметричны относительно точки начала координат, и в этом
случае говорят, что пружина обладает симметричной характеристикой
восстанавливающей силы. Если кривая зависимости нагрузки от перемещения
несимметрична относительно точки начала координат, то говорят, что имеет
место восстанавливающая сила с несимметричной характеристикой.
Пример системы, имеющей характеристику типа пружины с. возрастающей
жесткостью и несимметричной характеристикой восстанавливающей силы,
представлен на рис. 2.2, а. Небольшая масса т укреплена в середине
растянутого троса А В длиной 21, который
гг
W77 к
' О у
\
/
/
/
s+fea/i
к
si
2(S*FEA/L)sine
t)
О)
Рис. 2.2
5*
131
предварительно напряжен растягивающей силой, обозначенной буквой 5. Когда
масса перемещается в боковом направлении на расстояние х от положения
равновесия, в тросе, как показано на рис. 2.2, б, возникает
восстанавливающая сила. Таким образом, система может совершать свободные
колебания, для которых уравнение движения имеет вид
тх + 2 (S + -Щ^-) sin 0 = 0. (а)
В уравнении (а) через F, Е и А обозначены соответственно площадь
поперечного сечения троса, модуль упругости его материала и изменение
длины I, обусловленное перемещением х; угол 0 характеризует отклонение
троса от вертикали. Из представленной на рис. 2.2, а схемы имеем
следующие геометрические соотношения:
Д=|//2 + х2 sin 0 = -р===- (б)
+ х'1 '
После подстановки этих соотношений в уравнение (а) получим
, FE (У 12 + & - /) '
тх
//2 + .
0. (2.3а)
Это точное нелинейное уравнение движения можно заменить более простым (но
менее точным), воспользовавшись приближенными
соотношениями
21 '
sin 0 ^ -у-. (в)
Подставив эти соотношения в уравнение (а), получим
-^*3 = 0. (2.36)
Это дифференциальное уравнение, приближенно описывающее движение,
содержит член с х в третьей степени и, следовательно, является еще и
нелинейным. Если сила S предварительного напряжения велика, а перемещение
мало, то кубическим членом в уравнении (2.36) можно пренебречь. При этом
движение массы является почти гармоническим, что определяется остающимися
членами. В других случаях необходимо учитывать кубический член; при этом
восстанавливающая сила имеет вид, представленный на рис. 2.1, а.
Поскольку угол наклона касательной к кривой, описывающей зависимость
нагрузки от перемещения, увеличивается с увеличением перемещения, частота
колебаний будет увеличиваться с ростом амплитуды.
Следует отметить, что нелинейность системы на рис. 2.2, а связана с
рассмотрением геометрии системы при больших перемещениях, а не с
нелинейными свойствами материала троса. Другой пример геометрической
нелинейности представляется простым маятником весом W и длиной L (рис.
2.3). В отклоненном на угол ср от вертикали положении на маятник
действует равный WL sin ср вос-
132
станавливающни момент отно-сительно точки подвеса С. Таким образом,
уравнение вращатель-ного движения относительно точки подвеса принимает
вид
/ср 4- WL sin ф - 0. (г)
Подставляя в это уравнение выражение / WL2!g для момента инерции массы,
получим
'i -f-sincp:
0.
(2.4а)
Рис. 2.3
Для малых амплитуд функции sin <р примерно равна углу ф, и тогда движение
может рассматриваться как простое гармоническое. Если
же амплитуда не мала, восстанавливающий момент пропорционален функции sin
ф, которую можно разложить в степенной ряд. Подставляя два первых члена
