Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна /,|В одном из
устойчивых равновесных положениях пружина наклонена к горизонту, как
показано на рис. А.2.1.5, под углом 0. Записать нелинейное уравнение
движения этой системы с учетом больших перемещений в направлении оси х.
Ответ-.
а) Ф + sin ф + (h + h) 1
//i + 2/1(/1 + /2)(l-cos Ф)
X
X sinф = 0;
и
2
3/i
j ф3 = 0;
в) ф + -|-ф = 0. п
139
Ответ:
тх -\-k
I cos 0 -
/ (/ cos 0 - л:)
V I* + •
2Ix cos 0
2.1.6. В перевернутом маятнике имеется линейно упругая спиральная
пружина, установленная на опоре (рис. А.2.1.6). Записать нелинейное
уравнение движения с учетом больших углов наклона этой системы.
Ответ:
'P + 'W(p-T~sincp''=0'
Рис. А.2.1.5
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И ПЕРИОДА КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ
НЕПОСРЕДСТВЕННЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ
Рассмотрим свободные колебания системы без демпфирования и с нелинейной
упругой симметричной восстанавливающей силой. Уравнение движения в этом
случае имеет вид
тх р F (х) = 0 (а)
или
* + Р2/М = 0, (2.5)
где слагаемое p2f (х) = F (х)/т представляет отнесенную к единице массы
восстанавливающую силу как функцию перемещения х.
В уравнении (2.5) ускорение можно представить как производную скорости
dx dx dx dx . 1 d(x)2 ...
х = ЧГг=-1ыЧГ = -1Гх-тЛ^- <б>
Подставляя это представление в уравнение (2.5), получим
Ф^ + pVM-o. (в)
140
Полагая, что восстанавливающая сила pif (х), отнесенная к единице массы,
задается кривой, показанной на рис. 2.9, и что скорость, соответствующая
координате хм крайнего положения, равна нулю, можем проинтегрировать
уравнение (в) и найти
¦-Р
(г)
Таким образом, для любого положения колеблющейся системы ее кинетическая
энергия, отнесенная к единице массы, равна потенциальной энергии,
представленной площадью заштрихованной области под кривой на рис. 2.9.
Максимальное значение кинетическая энергия имеет, разумеется, в крайнем
положении, и тогда согласно соотношению (1.13) в п. 1.3 получаем
(2.6)
Из уравнения (г) находим скорость х колеблющейся массы в произвольном
положении
dx
1Г
/
у 2j
(д)
откуда повторным интегрированием можно наити продолжительность любой
части цикла. Таким образом, длительность цикла
dx
(2.7)
Следовательно, если аналитическое выражение для восстанавливающей силы
задано, период колебания: системы можно определить с помощью интеграла
(2.7). Кроме того, из соотношения (2.6) можно получить выражение для
скорости хм в крайнем положении в зависимости от перемещения хм в
крайнем положении. Это выражение удобно использовать при определении
максимальной скорости перемещения в нелинейной системе, в которой было
задано начальное смещение, а затем предоставлена возможность колебаться
свободно. С другой стороны, это выражение можно использовать для
plf(x)
у
1 1
к М
, к
X"
Рис. 2.9
141
Определения максимального перемещения при заданной начальной скорости.
Такую начальную скорость можно придать массе с помощью импульса,
длительность которого мала по сравнению с периодом колебания системы.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев, начав со случая
восстанавливающей силы, пропорциональной любой нечетной степени х:
/(*) =
v 2п-1
(е)
Рис. 2.10
где п - положительное целое число, а кривая зависимости нагрузки от
перемещения симметрична относительно начала координат. Подставляя
представление (е) в соотношение (2.6), найдем
рх11
(ж)
что дает хм = ±рхм при п = 1, хм = ±0,707 рХи при п - 2 и т. д. Подставив
затем выражение (ж) в формулу (2.7) и проинтегрировав, получим
*м
4|Л п Г dx
(2.8а)
В случае линейной восстанавливающей силы (ti = 1) еще одно инте
грирование дает
х.. 1 О
dx 4 С du ____________
r-~J \Г\~й? ~
1 1
где и = х/х". Когда п = 2, восстанавливающая сила пропорциональна х3, и
тогда формула (2.8а) дает
га
H-f
о V*
arccos и
2 п , .
= ~г> ^
х =
dx
J
4 V 2
PX M
Г du
J '
(и)
Числовое значение последнего интеграла в формуле (и) известно из
справочных таблиц интегралов и равно 1,8541/42. Тогда формула для периода
собственных колебаний принимает вид
7,4164
Рх м
(2.86)
В этом случае период колебаний обратно пропорционален амплитуде. График
зависимости (2.86) периода от амплитуды колебаний представлен на рис.
2.10 и относится к показанной на рис. 2.2, а
142
системе, когда сила 5 предварительного растяжения троса равна нулю.
Если начальное растяжение троса на рис. 2.2, а равно нулю, имеем более
общий случай колебания, в котором восстанавливающая сила, отнесенная к
единице массы, имеет вид
p2f (х) = р2(х + ах3), (к)
где р2 = 2S/ml; а = AE/2SP. Тогда уравнение (2.6) запишем
-*м = + pxMV 1+а*м/2 (л)
и при а = 0 оно примет вид хм = ±/>хм. Для того чтобы вычислить период
свободных колебаний, подставим представление (к) в формулу (2.7). Тогда
получим
м
dx
или
4 Г dx
%
V
о
Для сведения эллиптического интеграла в правой части последнего выражения
к стандартной форме введем обозначения
и = х/хы; v = ал'м,
что дает
или
- ( ¦¦¦¦ , ^ , (M)
