Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Горизонтальная линия 3 на рис. 2.12, а должна была бы изображать резонанс
в случае линейной системы, но в данном случае ей соответствует другая
пара точек (С и С') на диаграмме. С увеличением угла наклона линий на
рис. 2.12, а возникает условие, при котором линия 4 не только пересекает
верхнюю ветвь кривой в точке D, но и оказывается касательной к нижней
ветви в точке Е. Соответствующие точки D' и Е' для частотной
характеристики на рис. 2.12, б попадают на критическую частоту (сокр ^
р), где тангенс угла наклона графика частотной характеристики равен
бесконечности (точка Е'). Более круто поднимающиеся вверх линии на рис.
2.12, а, аналогичные линии 5, пересекают кубическую параболу в трех точ-
х - aicpi (0 == ах cos cof.
Тогда первое уравнение из системы (2.28) примет вид
(а)
о
(2.30)
(2.31)
(2.32)
157
ках (например, в точках F, G и Я), которым соответствуют точки F', G' и
Я' на графике частотной характеристики. Таким образом, сплошная жирная
линия на рис. 2.12, б дает графическое представление уровня (2.31).
Частотная характеристика для пружины с возрастающей жесткостью имеет
асимптоту в виде гиперболы, которая показана штриховой линией на рис.
2.12, б. Она соответствует случаю свободных нелинейных колебаний, когда в
уравнении (2.31) величина q полагается равной нулю. В результате
соотношение между амплитудами и частотами при свободных колебаниях
принимает следующий вид:
Зца?
<о* Р2
1.
(2.33)
158
где со - круговая частота нелинейных колебаний. Кроме того, задавая
различные значения нагрузки ц, можно построить * семейство частотных
характеристик (изображены сплошными светлыми линиями), аналогичных
'слошной жирной линии, показанной на рис. 2.12, б. Геометрическое место
критических точек типа Е' (в которых тангенс угла наклона касательной
равен бесконечности) для указанных частот представлено штрихпунктирной
линией на рис. 2.12, б. Уравнение этой кривой можно получить,
продифференцировав уравнение (2.31), в виде
(2-34)
Возвращаясь к уравнению (2.32), полученному для случая пружины с
уменьшающейся жесткостью, можно также построить характерный график
частотных характеристик, используя описанный выше прием. На рис. 2.13, а
представлены применительно к данному случаю график кубической параболы и
семейство соответствующих правой части уравнения (2.32) прямых для ряда
значений со!р. Как линия 1, так и линия 2 имеют по три точки пересечения
с графиком кубической параболы, линия 3 имеет одну точку пересечения и
одну точку касания, а каждая из прямых 4 и 5 имеют по одной точке
пересечения с кубической параболой. Точкам А-J на рис. 2.13, а
соответствуют точки А'-J' на рис. 2.13, б. В этом случае график частотной
характеристики имеет вертикальную касательную в точке Н', и критическая
частота возникает в том случае, когда частота возмущающей силы имеет
меньшую величину, чем частота резонанса в линейной системе (сокр < р).
Полагая в уравнении (2.32) <7 = 0, получим уравнение показанной на рис.
2.13, б штриховой кривой
^=1-^-, (2.35)
которая представляет собой уравнение эллипса и соответствует случаю
свободных колебаний. На этом же рисунке в виде штрих-пунктирной кривой
представлено геометрическое место критических точек типа Н' для ряда
частотных характеристик. Уравнение этой кривой получаем
дифференцированием уравнения (2.32), что дает
^-=1-^1. (2.36)
Типы показанных на рис. 2.12, б и 2.13, б частотных характеристик
являются математическими моделями явления перескока, наблюдаемого в
экспериментах с нелинейными механическими системами при действии
возмущающих сил в виде гармонических функций **.
* Klotter К. Non-linear vibration problems treated by the averaging
method of W. Ritz. - Proc. 1st U. S. Natl., Congr., Appl. Mech., Chicago,
Illinois: Edwards Brothers Inc., 1951, pp. 125-131.
** Cm. kh. Duffing G. Erzwingene Schwingungen bei veranderlicher
Eigenfre-quenz, цитированную в п. 2.2.
159
Рис. 2.13
В случае пружины с возрастающей жесткостью значительное увеличение
частоты возмущающей силы (начиная с ее нулевого значения и = 0) приведет
к тому, что амплитуды установившегося состояния, которым соответствует
левая ветвь кривой на рис. 2.12, б, достигнут некоторой точки типа F'.
Из-за наличия внешних возмущений система будет иметь скачок амплитуды из
точки F' в точку Я' на кривой; при этом фазовый угол изменяется скачком с
0 на 180°. Дальнейшее увеличение частоты возмущающей силы обусловливает
поведение системы, которому соответствует монотонно убывающая часть
правой ветви частотной характеристики. С другой стороны,
160
если частоту возмущающей силы постепенно уменьшать, начиная с некоторого
ее высокого значения (большего, чем а>1ф), то амплитуда установившегося
состояния будет постепенно увеличиваться, пока не будет достигнута
критическая точка Е'. Затем амплитуда скачком изменится от точки Е' до
точки D' и также скачком изменится фазовый угол от 180° до 0. Последующее
уменьшение частоты возмущающей силы приведет к тому, что динамические
