Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя это первое приближение в правую часть второго уравнения из
системы (и), получим
•2 з з / 34 \
ф! + Р1ф1 = - COS Pit - Х" COS р4 = - ^СхХм -) j- J
х
X COS pj J- cos3Pyt.
Для устранения условия возникновения резонанса постоянную Cj следует
выбрать такой, чтобы первое слагаемое, стоящее в правой части уравнения,
равнялось нулю, что дает
Ci = - Зхм/4. (н)
Общее решение для функции фх имеет вид
х3
Фх = Cj cos pit | C2 sin p^ -|- оoV cos 3p^.
ozp j
Для того чтобы удовлетворить начальным условиям, представленным
во второй строке соотношения (л), найдем С\ = -
х^132р\,
С2 -- 0. Тогда окончательно получим
х3
ф1 = зЩ (cos 3pit ~ cos PlV> •
Если ограничить расчеты определением второго приближения и подставить
выражения (м), (н) и (о) в представления (2.17а) и (2.176), то придем к
следующему выражению:
"Х'м
.г = ,гм cos Pit j- -щ- (cos 3Pit - sin Pit), (ii)
где
fi\=p2 -\-3ax m/4. (p)
Эти результаты в точности совпадают с выражениями, полученными выше [см.
выражения (2.15) и (2.16)].
Для получения третьего приближения подставим выражения (м), (н) и (о) в
правую часть третьего уравнения системы (к):
1 Г *2
Фа + Р\Фа = - С2ХМ COS Pit + 3x1 (- COS 2Pit'} - (COS 3Pit -
- COS Pit)].
Используя известные тригонометрические формулы для функций кратных углов,
можно это уравнение привести к виду
(Зх2 \ Зх3
128pj / *-OS/7itf 128р\ *-OS5/?itf.
152
Для того чтобы, как и выше, исключить условия возникновения резонанса,
положим
3*м (г)
с'2 128/4 •
Тогда общим решением для функции ф.2 будет
*5
ф2 = Сг cos Р4 4- С2 sin pxt + -щщ cos 5 pxt.
Используя третью строку соотношений (л), найдем постоянные интегрирования
х5
Аи
откуда получим
г _____________!L_ Г П
1 ~ 1024pi' 2 - '
ф2 = ТоЩ (cos 5pit " cosp^ • (т)
Тогда третье приближение, описывающее реакцию системы, принимает вид
ctx^ а2*^
X = хм cos pxt 4 -щ- (cos 3р4 - cosр4) + 1-0-24^ х
х (cos 5 р4 - cos р4), (2.18)
где р! определяется выражением
п2 г" , 3"24 /О 1ГЦ
Pi ---------------------4---------------Г28р2 * (2ЛУ)
Для того чтобы получить четвертое приближение, подставим выражения для
фо, фх, ф2, и с2 в последнее уравнение из системы (к) и, проделав те же,
что и выше выкладки, найдем
"4 . _ . .. "24 . . ,
4
J cos р4 4- -Щ- (cos 3р4 - cos р4) 4- |024^г (cos 5/?!/ аУ
COS /4/) 4- -32,7^6-(cos 7/У ~ 6 cos + 5 C0S Pit)' (2-2°)
где частоту определяем из выражения
9 о ЗсУ ЗаУ 9аУ
+ W+W- (2-21)
В заключение укажем, что метод последовательных приближений состоит в
представлении перемещений при нелинейных свободных колебаниях рядами
функций, получаемых в соответствии с выбранной формой для первого
приближения, подобной представлению (б),
153
а затем Последовательного решения системы уравнений, подобной системе
(к), с учетом начальных условий, аналогичных условиям (л). Приближение,
получаемое по этому методу, по существу удовлетворяет уравнению движения
только в те моменты времени, когда колебательная система находится в
крайнем или среднем положениях. Хотя теоретически число последовательных
приближений, которые могут быть получены, неограничено, обычно для
практических целей оказывается достаточным второго приближения.
Метод усреднения Ритца *. Другой способ приближенного исследования
нелинейных колебаний с помощью рядов основан на том, что среднее значение
возможной работы за цикл полагается равным нулю. Этот подход известный
как метод усреднения Ритца 4, может дать более точное решение, чем метод
последовательных приближений, при том же самом числе удерживаемых членов
ряда. Более того, применение метода осреднения не ограничивается
квазилинейными системами. Этот метод может применяться и для исследования
как свободных, так и вынужденных (см. следующий параграф) колебаний.
Рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы без
демпфирования, для которой уравнение движений можно записать в следующем
виде:
x + f(x) = 0, (2.22)
где слагаемые в левой части описывают силу инерции и восстанавливающую
силу, отнесенные к единице массы. Согласно принципу Даламбера уравнение
(2.22) можно рассматривать как уравнение динамического равновесия, в
котором упомянутые две силы уравновешивают друг друга. Если системе
задается возможное перемещение 8х, то работа, совершаемая при этом
указанными силами, должна равняться нулю, что дает
[х + f (х) ] &х - 0. (у)
При применении метода усреднения Ритца4 предполагаем, что приближенное
решение для задачи о свободных колебаниях можно задать в виде ряда
П
х = (t) + а2ф2 (t) + а3ф3 (0 + • • • = Ц а;Ф;(0> (2.23)
1=1
где ф! (i), ф2 (t), ..., -выбранные функции времени; аъ а2, ... - весовые
коэффициенты, определяемые из условия, что возможная работа, совершаемая
за один цикл, равна нулю. Возможные перемещения выбираем в форме
бXt =- б^ф; (/), (ф)
* Ritz W. Liber eine neue Methode zur Losung gewisser Variations -
Probieme der mathematischen Physik.-Journal fur die reine und angewandte
Mathematik (Crelle), 1909, B. 135, N. 1, S. 1-61; Галеркин Б. Г. Стержни
