Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
штрихпунктирную линию на рис. 2.14). Следовательно, для любого
конкретного значения величины q/(2np) можно построить гиперболу по
уравнению (2.42). Ее пересечение с кривой для свободных колебаний даст
приближенно максимальное значение, которое может достичь амплитуда при
установившихся вынужденных колебаниях. Если требуется знать только
указанное максимальное значение, нет нужды строить полностью график
частотной характе-
(2.40)
(2.41)
6*
163
ристики и тем самым можно избежать трудностей построения графиков при
решении уравнения (2.40).
Аналогично сказанному, штриховая кривая на рис. 2.15 имеет тот же смысл,
что и такая же кривая, получаемая из уравнения (2.35); при этом
геометрическое место точек, где график частотной характеристики
пересекает соответствующую кривую, построенную для случая свободных
колебаний, можно найти, решив систему уравнений (2.35) и (2.41).
Результирующее выражение имеет тот же вид, что и полученное ранее
выражение (2.42), поэтому штрихпунк-тирная линия на рис. 2.15 является
такой же гиперболой. В этом случае возможно существование двух точек
пересечения графиков, указывающее на наличие- верхней ветви частотной
характеристики, которая не имеет физического смысла.
В системах с малым демпфированием теоретическое условие резонанса,
представленное точкой R на рис. 2.14 и 2.15, может в действительности
оказаться недостижимом из-за возникновения перескока. На каждом из этих
рисунков возможность перескока вниз отмечена переходом из точки D в точку
D', перескоку вверх соответствует переход из точки J в точку J'. Наличие
внешних возмущений может вызвать преждевременный перескок, тем самым
исключая возможность возникновения действительного резонанса. При
отсутствии упомянутого внешнего воздействия скачок на каждом из рисунков
приближенно изображался бы переходом из точки R в точку R' на графике
частотной характеристики.
Для систем с демпфированием фазовой угол при изменении частоты to
возмущающей силы от 0 до оо изменяется непрерывно от 0° до п. При
резонансе фазовый угол теоретически равен л/2, но в действительности он
изменяется скачком при возникновении перескока в системе. При этом он
изменяется от значения несколько меньшего (или большего), чем л/2, до
значения несколько большего (или меньшего), чем л/2.
Метод усреднения Ритца4 успешно применялся к различным задачам, включая
свободные и вынужденные колебания нелинейных систем. Высокая точность
была достигнута * при использовании одночленного приближения для систем с
восстанавливающей силой, описываемой симметричными функциями /г-го
порядка, а также кусочно-линейными функциями. Уравнение Дюффинга является
только одним из примеров такого типа. Для систем с восстанавливающими
силами несимметричного вида требуется использовать по крайней мере
двучленные приближения и при этом быстро растут трудности алгебраического
характера.
2.5. КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Как уже упоминалось в п. 2.1, некоторые колеблющиеся системы обладают
кусочно-линейными характеристиками. Подобные системы зачастую оказываются
несложными для исследования, а в некоторых
* См. ст. Klotter К. Non-linear vibration problems treated by the
averaging method of W. Ritz, цитированную в п. 2.4.
164
Рис. 2.16
случаях позволяют получить точные решения. К этой категории относятся
системы с пружинами, не обладающими линейно-упругими характеристиками,
неупругие материалы с кусочно-линейным поведением, включая
упругопластические, а также и системы с сопротивлением в виде
кулоновского трения. Подобные системы будут обсуждаться в данном
параграфе с целью исследования их поведения при свободных колебаниях с
начальными условиями в форме перемещения и скорости, при вынужденных
колебаниях, обусловленных действием возмущающих сил в виде периодических
функций, а также для определения неустановившегося поведения при
произвольном воздействии.
На рис. 2.16, а показана колеблющаяся система с массой, установленной в
зазор между двумя линейно упругими пружинами. Если измерить перемещение
массы относительно срединного положения, то статическая диаграмма
зависимости нагрузки от перемещения примет вид, показанный на рис. 2.16,
б. В этом случае период свободных колебаний зависит от величины зазора и
других параметров. Предположим, что в момент времени t = 0 начальное
перемещение массы равно .нулю, а начальная скорость равна х0. Время,
необходимое для того, чтобы пройти длину зазора хъ
После прохода через зазор масса вступает в контакт с правой пружиной, и
дальнейшее движение носит гармонический характер до тех пор, пока масса
не отскочит от пружины через время Время,
165
в течение которого скорость изменяется от х0 до нуля, равно одной
четверти периода собственных колебаний массы т, прикрепленной к пружине с
жесткостью k. Таким образом, время, за которое достигается максимальное
перемещение,
, , , л х, . я 1 Г т ,^
'>='¦ + ^ = 17 + - V - • (б>
Следовательно, полный период колебаний действительной системы * = +
