Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
и|пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и
пластинок. - Вестник инженеров, 1915, т. I, № 19, с. 897-908.
154
после чего работу интегрируем по интервалу времени, равному длительности
одного цикла:
П Г
S j f* + f Wl (0 dt = °- W
1=1 о
откуда получаем
г
J [х + f(x)]<p1(t)dt = 0-,
О
г
J [х + f (х)] ф2 (/) dt == 0;
о
............................................................... (2.24)
г
J[* + f(x)]<Pn(t)dt = 0. о
Система уравнений (2.24) представляет собой п алгебраических уравнений,
решая которые можно определить величины alt а2, ..., ап.
В качестве примера рассмотрим квазилинейную систему, для которой
уравнение движения имеет вид (2.14). Если в качестве первого приближения
взять решение для задачи о свободных колебаниях
х = (0 = cos р4, (ц)
то первое уравнение системы (2.24) примет вид
Г
J [- р\аг cos р4 + /?20! cos р4 + аа\ cos3 р4] cos р4 dt = 0. о
Учитывая равенства
г 2я
J cos2 р4 dt = -J cos2 /?х td (р4) = -; о о
г 2я
J cos4 рх tdt = -±- J cos4 Pi td (Pit) = -|5-,
0 0
найдем
P2i=P2 + ^- (2.25)
Это выражение совпадает с выражением (2.15), полученным методом
последовательных приближений, и из него можно определить величину cii в
зависимости от р, pi и а. Определяя из уравнения (2.25) коэффициент ах и
подставляя его в представление (ц), получаем
x = 2j/r cospit. (2.26)
15$
В качестве более точного приближения, удовлетворяющего условиям симметрии
в данном примере, можно взять два члена ряда
х = oycpi (t) + а2ф2 (0 = "1 cos рф + аг cos 3рф. (ч)
Подставляя представления (ч) в первые два уравнения системы (2.24), после
интегрирования получаем систему двух кубических уравнений, которую можно
решить численно и определить коэффициенты ал и а2- Хотя эта часть
исследования является сложной, однако трудности носят только
алгебраический характер.
2.4. ВЫНУЖДЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В предыдущем параграфе рассматривались только свободные колебания
нелинейных систем. Здесь же будет обсуждаться установившееся поведение
нелинейной системы, на которую воздействует периодическая возмущающая
сила, и применение метода усредне-йия Ритца4 для получения приближенного
решения.
Предположим, что в .системе имеется демпфирование, пропорциональное
некоторой функции (х) скорости, и восстанавливающая сила,
пропорциональная произвольной функции /2 (х) перемещения. Если на массу
действует возмущающая сила в виде периодической функции mf3 (t),
уравнение движения может быть записано в следующем виде:
х + 2п/х (х) + р% (х) = /з (/), (2.27)
где слагаемые соответствуют отнесенным к единице массы силам инерции,
сопротивления движению и восстанавливающей внешней силе. Согласно методу
усреднения Ритца4 предполагаем, что приближенное решение для
установившихся колебаний можно представить в виде ряда, аналогичному ряду
(2.23) в п. 2.3. Из условия того, что возможная работа за один цикл
вынужденных колебаний должна равняться нулю, получаем систему уравнений
вида
Г
J [х + 2и/х (х) + р% (х) - /з (01 Ф; (о dt = о, г = 1, 2,. . ., п. (2.28)
о
Рассмотрим первый частный случай, когда отсутствует демпфирование. Тогда
уравнение движения
х + р2 (х ± рх3) = q cos оit. (2.29)
Полученное соотношение представляет собой хорошо известное уравнение
Дюффинга, которое подробно рассмотрено Дюффингом в его книге * по
колебаниям. Вынужденные колебания подобного типа являются симметричными
относительно положения равновесия, и при отсутствии демпфирования
динамические перемещения системы
* См. кн. Duffing G. Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfre-
quenz, цитированную в п. 2.2.
156
будут либо совпадать по фазе, либо отставать на 180° от возмуща ющей
силы. В качестве первого приближения можно выбрать
После интегрирования и приведения подобных членов получим
Для любых заданных значений параметров р2, р и q из уравнения
(2.30) получаем два соотношения между амплитудой ах и частотой о
возмущающей силы при установившихся вынужденных колебаниях. С точки
зрения удобства графического представления частотных характеристик
(аналогичного рис. 1.22 в п. 1.6), в случае пружины с возрастающей
жесткостью лучше использовать уравнение
а в случае пружин с уменьшающейся жесткостью более удобным будет
уравнение
Метод построения графиков зависимости амплитуды а от отношения частот ы!р
согласно уравнениям (2.31) и (2.32) приведен ниже.
Уравнение (2.31) можно представить как наложение кубической функции от а
в левой части уравнения и линейной функции от а в правой части. На рис.
2.12, а показаны кубическая функция и набор линейных функций для ряда
значений отношения частот ы/р. Наклонная линия 1 на рис. 2.12, а
соответствует вертикальной линии со//7 = 0 на рис. 2.12, б, пересекающей
кубическую параболу в точке А. Значение амплитуды в точке пересечения на
рис. 2.12, б обозначено через А'. На рис. 2.12, а линия 2, для которой
выполняется условие 0 < со Ip < 1, пересекает кривую в точке В;
соответствующая ей точка на рис. 2.12, б обозначена через В'.
