Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(2.14), получим
х + р?* + (р2 - р?)* + а*3 = 0. (г)
* Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. Ин-т
строительной механики. Зап. каф. мат. физики. Т. I, II. Киев: изд-во АН
УССР, 1937. 363 с.
148
Первое приближение (б) для х теперь можно подставить в два последних
слагаемых уравнения (г), которые являются малыми величинами, что дает х +
р\х = -лм (р2- р2) cos pit - cos3 рД С учетом равенства cos3 pxt - (3 cos
pxt + cos Зрх/)/4 получаем
С математической точки зрения, это уравнение имеет форму, аналогичную
случаю системы с одной степенью свободы без демпфирования, в которой
имеется возмущающие силы в виде гармонических функций. Однако здесь
первый стоящий в правой части уравнения член описывает функцию
возмущающей силы, имеющей ту же частоту рх, что и у заменяющей системы.
Это приведет к тому, что динамические перемещения системы будут
бесконечно возрастать со временем и не будет выполняться условие
свободных колебаний с постоянной амплитудой. Для устранения такого
ложного резонанса необходимо положить коэффициент при cos pxt равным
нулю. Этот шаг является существенной особенностью метода по крайней мере
потому, что тем самым удается получить приближенное значение для частоты
Поскольку слагаемое р2 может рассматриваться как первое приближение для
р\, выражение (2.15) представляет собой второе приближение, состоящее из
первого и добавочного члена Зах"/4.
Оставшимся слагаемым уравнения (д) соответствует общее решение
Для того чтобы удовлетворить заданным начальным условиям (лс0 - хм, х0 =
0), постоянные интегрирования следует взять в виде Ci = х" - ах"/(32р?),
С2 == 0.
Следовательно, второе приближение для функции, описывающей движение
системы,
Таким образом, поправочный член во втором приближении содержит более
высокую гармонику, пропорциональную cos 3pxt и показанную графически на
рис. 2.11, а. Естественно, что величина отклонения от кривой,
изображающей функцию косинуса, зависит от величины коэффициента а.
Следует также учитывать, что круговая частота рх увеличивается с ростом
амплитуды, что видно из представленной на рис. 2.11,6 зависимости (2.15).
Если необходимо получить третье приближение для функции, описывающей
движение, следует подставить второе приближение
X -|- р\х = --- (р2 - Pi -j~ iSpL j ,,м cos Pit __ cos Зрх/. (д)
x = Cx cos pxt + C2 sin pxt f °(*M" cos 3pxt.
dip I
(e)
(2.16)
149
(2.16) в уравнение (г) и вновь проделать те же выкладки, что и ранее.
Однако здесь тригонометрические преобразования становятся довольно
громоздкими, поэтому желательно воспользоваться более простым приемом. С
учетом, сказанного заметим, что выражения (2.15) и (2.16) можно записать
в следующей форме:
p = p\ + aci, д- = ф0 + аф1. (ж)
Следовательно, выражения вторых приближений для частоты колебания и
перемещения содержат величину а в первой степени. Тогда для получения
последующих приближений надо удержать дополнительные члены в рядах
х ¦= Фо + осф! + а2ф2 + а3ф3 + • • •; (2.17а)
р - р\ -f- ас\ 4- а2с2 + аЗс3 + .... (2.176)
150
Оба ряда содержат степени малой величины а. В этих рядах ср0) Фъ ф2, ...
суть неизвестные функции времени, съ с2, с3, ... -постоянные, которые
должны быть выбраны таким образом, чтобы устранялись условия резонанса,
как это делалось при получении второго приближения. Увеличивая число
удерживаемых членов ряда, можно получить желаемое число последовательных
приближений. В последующем изложении опускаются все члены, содержащие а в
степени выше третьей. Подставляя представления (2.17а) и (2.176) в
уравнение (2.14), найдем
Фо + "Ф1 + "2ф2 + аЧз + (р\ + "И + "Чг + "Ч) (фо + "Ф1 +
f а2ф2 + а3ф3) + а (ф0 + афг + а2ф2 + а2ф3)3 = 0. (з)
После приведения подобных членов и отбрасывания всех членов, содержащих а
в степени выше третьей, уравнение (з) можно переписать в виде
фо + АФо + а (ф1 + /?1ф1 + НФо -f Фо) + а2 (ф2 + Р1Ф2 + с2фо +
2 % 3 /2 2
+ С1Ф1 + ЗфоФП + а (ф3 + PiФз + сзфо + С2Ф1 + ПФг + Зфоф2 +
+ ЗфоФ?) = 0. (и)
Данное соотношение должно выполняться при любых значениях малой величины
а, а это означает, что коэффициент при каждой из трех степеней а должен
быть равен нулю. Таким образом, вместо соотношения (и) можно записать
следующую систему уравнений:
фо "Ь Р1Ф0= 0;
Ф1 + phi = - НФо - Фо;
ф2 + pbfo = - С2Ф0 - С1Ф1 - ЗфоФВ (к)
Фз ~Ь /?1фз - - сзФо С2Ф1 Ц1Ф2 Зфофг Зф0ф1.
Используя те же, что и выше, начальные условия (т. е. при t = 0 имеем х0
= хм, х0 = 0) и подставляя их в представления (2.17а), найдем
ф0 (0) + афх (0) + а2ф2 (0) + а3ф3 (0) = хм;
Ф (0) + аф! (0) + а2ф2 (0) + а3ф3 (0) = 0.
Поскольку здесь, как и выше, эти соотношения должны выполняться для любых
значений коэффициента а, имеем
Фо (0) = хм\ фо (0) = 0;
Фг (0) = 0; фх (0) = 0;
Ф2 (0) = 0; ф2 (0) = 0; (л)
Фз (0) = 0; фз (0) = 0.
Рассматривая первое уравнение из системы (и) и соответствующие ему
начальные условия, записанные в первой строке выражения (л), найдем
Фо = хм cos PJ. (м)
151
