Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
зависимость перемещения от времени будет иметь вид, показанный на рис.
2.17, в. На отрезке времени 0 < t < tx перемещение этой системы
описывается выражением
х = ~zr~ sin pxt, (и)
а скорость имеет вид
х - xQ COS Pit.
168
(к)
В момент времени ty масса достигнет точки Ху, где кончается первая
упругая область. Тогда из выражения (и) находим это время:
ty = -arcsin , (л)
Р1 *0
а соответствующую скорость находим из выражения (к):
¦ Ху = х0]/ 1 -(^)2. (М)
Далее масса вступает в контакт с верхней правой пружиной (см. рис. 2.17,
а) и тогда уравнение движения принимает вид
тх + kyX + (k2 - ky) (х - ду) = О
или
тх + k2x = (k2 - ky)Xy. (н)
В правой части уравнения (и) стоит величина, которую можно рассматривать
как псевдоступенчатую функцию возмущающей силы,
приложенную к системе с жесткостью пружины k2. В рамках такого
подхода суммарную реакцию можно вычислять как сумму влияния начальных
условий в момент времени ty и влияния псевдоступенчатой функции. В
результате получаем перемещение
х = х1 cos р2 (t - ty) + - sin р2 (t - tх) + ki^- kl xx [1 - cos p2 x
Pi *2
x(/ -/i)l= (l - xx + A Xy cos p2 (t - ty) + sin p2 (t - ty)
(o)
и скорость
k~i
X = ~--~-p2x 1 sin p2 (t - ty) + Xi cos p2 (t - ty). (n)
"2
В выражениях (о) и (п) через р2 обозначена круговая частота р2 = Yk2ltn
при гармоническом движении во второй упругой области. Из выражения (п)
видно, что максимум динамического перемещения имеет место в момент
времени
'" = (> + Т7агс'е5ёг- <Р>
Первый член в выражении (о)
х\ = [ 1 - (ky/k2)] Ху (с)
указывает точку, в которой проходящая под большим углом прямая
на рис. 2.17, б пересекает положительную ось х. Далее, коэффициент при
косинусе в выражении (о) характеризует начальное перемещение
ki /
-?-Х1=Х1-Х1
относительно точки пересечения. Можно представить, что штриховая линия на
рис. 2.17, в изображает гармоническое движение, смещен-
169
ноб во вторую упругую область. Полуцикл этого движения начинается в
момент времени t\и заканчиваетя в момент t2. Эти значения времени находим
из выражений t\ = tM - п/(2/?г); t2 - tM + п/(2р2)> а время /г,
соответствующее второй точке касания штриховой и сплошной линии, получаем
из выражения
Как и в предыдущем случае, полный период колебания можно определить по
формуле
Отметим так же, что, как видно из выражения (о), перемещение-массы,
обусловленное заданной начальной скоростью, равно сумме х[ и амплитуды
гармонического движения, смещенного во вторую упругую область:
Очевидно, что, для того чтобы входящую в формулы (2.47) и
(2.48) скорость хг выразить через начальную скорость х0, надо
воспользоваться равенством (м).
Если на систему, показанную на рис. 2.17, а, действует возмущающая сила,
описываемая гармонической функцией Q sin tot, ее уравнение движения
следует записать отдельно для каждой из трех областей изменения
перемещения х следующим образом:
Хотя эти уравнения могут быть использованы для определения
неустановившегося поведения системы, они неудобны для исследования
установившегося поведения. К- Клоттер* исследовал этот случай вынужденных
колебаний с помощью метода усреднения Ритца4, используя одночленное
приближение. На рис. 2.18 представлен ряд графиков частотных
характеристик для отношения жесткостей kjk2 - 1/2. Для того чтобы эти
графики были безразмерными, строятся зависимости отношения х!хх от
to2//?2 для ряда значений параметра нагрузки ? = Q/(&i*i).
Для иллюстрации неупругих кусочно-линейных систем обратимся к системе,
показанной на рис. 2,19, а, где масса т прикреплена к концу гибкой
вертикальной стойки. Предполагается, что приложение горизонтальной
нагрузки Р вызывает только малые перемещения л: и что система обладает
упругопластической характеристикой
* Klotter К. Non-linear vibration problem treated by the averaging method
of W. Ritz. - Div. of Engng Mech., Stanford University, Techn. Rept.
1951, N. 17, Parts I, II,
(t)
(2.47)
для - x1 < x < xx имеем mx + kxx = Q sin со/; (у)
для xx < x имеем тх k2x = Q sin сoi -j- (k2 - kL) xx\ (ф)
для x < xx имеем mx k2x = Q sin to/ - (k2 - kx) xx. (x)
170
(см. п. 2.1). Таким образом, статическая диаграмма зависимости нагрузки
от перемещения (рис. 2.19, б) имеет равный некоторой отличной от нуля
константе k тангенс угла наклона до тех пор, пока около опоры стойки не
образуется внезапно пластический шарнир (ПШ). В этот момент ордината
диаграммы равна максимальному значению Рм и тангенс угла наклона кривой -
нулю. Предположим, что в момент времени t = 0 начальное перемещение массы
равно нулю, а для начальной скорости выполняется
условие х0 > рхъ где р = Уktm, лу - перемещение, достигнутое в момент
времени tly когда образовался пластический шарнир. На отрезке времени О с
t < ^ имеем следующие выражения для перемещения и скорости:
XQ
Р
sin pt; х = х0 cos pt,
(й)
171
которым соответствуют линии 1 на рис. 2.19, в и г. Подставляя хх - = PJk
в выражения (д), получим
После того как образовался пластический шарнир, т. е. на отрезке времени
