Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
ty < t < /м, имеем следующие выражения для перемещения и скорости:
Эти выражения (уравнения параболы и прямой линии) представлены линиями 2
на рис. 2.19, виг. Как видно из выражений (ш), максимальное перемещение
хм будет в момент времени
После этого момента времени fM в основании стойки перестает работать
пластический шарнир, и траектория движения массы ограничивается упругой
ветвью диаграммы зависимости нагрузки от перемещения (линия 3 на рис.
2.19, б). При t > tM поведение системы в случае свободных колебаний
представляет собой простое гармоническое движение, описываемое выражением
где хост - остаточное перемещение, обусловленное пластическими
деформациями материала и равное
И, наконец, скорость в этом диапазоне времени можно найти из выражения
Выражениям (щ) и (э) соответствуют кривые 3 на рис. 2.19, в и г. Из
второй формы выражения (щ) видно, что новым положением равновесия при
колебаниях с остаточными деформациями будет остаточное перемещение хосг
(см. рис. 2.19, в).
Если показанная на рис. 2.19, а система подвергается импульсному
нагружению, то ее реакцию при этом можно определить так же, как это
делалось выше для случая, когда задана начальная скорость. В частности,
можно рассмотреть прямоугольный импульс величиной Qn и длительностью tn,
а получив решения для ряда
172
L = - arcsin Р
х = хх + хг (t - tj
(2.49)
при этом его амплитуда
Р м
2k
х = хм - [ 1 - cos pt] = хост + -?f- cos pt
(Щ)
(2.51)
x = sin pt.
(э)
различных значений параметров, можно построить * графики частотных
характеристик спектральных функций, показанные на рис. 2.20. Эти графики
характеризуют зависимость безразмерного максимального значения
перемещения xjxx от безразмерного времени tjx для различных значений
отношения PM/Qn, включая случай упругого поведения, рассмотренный в п.
1.14 (см. рис. 1.52, а). Когда боковое перемещение л: становится большим
применительно к геометрии рис. 2.19, а, следует учитывать влияние
обусловленного силой земного притяжения момента mgx, который следует
добавить к моменту Р1, обусловленному действием горизонтальной силы.
В заключение приведенного обсуждения кусочно-линейных задач с кусочно-
линейными характеристиками восстанавливающих сил рассмотрим систему с
кулоновским трением, которая кратко рассматривалась в п. 2.1. Как и в
предыдущем случае, отметим, что блок на рис. 2.21, а имеет не одно
положение статического равновесия. В действительности он имеет
бесконечное множество таких положений в диапазоне перемещений - Л< х<А,
где Л= Flk обозначает такое положение системы, когда сила трения F и
восстанавливающая сила kA равны. Далее отметим, что сила трения F всегда
действует в направлении, противоположном направлению вектора скорости
движения системы. Затем надо написать два диф-
* Design of structures to resist the effects of atomic weapons. - U. S.
Army Corps of Engineers, Manual EM 1110-345-415, 1957.
173
ференциальных уравнения для свободных колебаний системы. Когда блок (см.
рис. 2.21, а) движется вправо, то имеем
mx-\-kx -- F, х>0, (а')
а при движении влево -
mxArkx = F, х<0. (б')
Уравнения (а) и (б) могут быть записаны в более компактной форме
x-{-kx = - Fsign^), (в')
где функция sign (i) обозначает знак скорости.
Предположим, что блок на рис. 2.21, а переместили вправо на величину х0 А
и затем отпустили с начальной скоростью, равной нулю. Когда блок движется
влево, следует использовать уравнение (б), решением которого будет
Р
х = х0 cos pt + -j- (1 ~ cos pt) = А-\-(х0 -A) cos pt. (2.52а)
В это время выражение для скорости имеет вид
х = -р (х0 - A) sin pt. (2.526)
Таким образом, движение на отрезке времени 0 < t < л/р является
гармоническим, а р = Уk/т является круговой частотой этого движения. В
момент времени t - п/р максимальное отрицательное перемещение равно -(*"
- 2А), а знак скорости изменяется от минуса до плюса. Затем, в следующий
отрезок времени п/р < t < 2п/р блок движется вправо, и тогда, решая
уравнение (а'), получаем
р
х - - (*" - 2A) cos pt--^ (1 - cos РЦ - -A - (*o - ЗА) cos pt;
(2.53a)
при этом выражение для скорости имеет вид
х = р (*" - 3 A) cos pt. (2.536)
Таким образом, видим, что на втором отрезке времени движение также
является гармоническим и имеет ту же частоту.
Рассмотрение выражений (2.53а) и (2.536) показывает, что первое из них
описывает колебание с амплитудой х0 - А относительно правого положения
равновесия (в точке х - А), а второе - колебание с амплитудой х0 - ЗА
относительно левого положения равновесия (в точке х = -А). Таким образом,
за время п/р величина максимального перемещения уменьшается на 2А, а за
время 2п/р - на 4А. Продолжая рассмотрение дальше, видим, что амплитуда
движения уменьшается на величину 2А за каждый полуцикл до тех пор, пока
амплитуда не станет меньшей, чем А. После чего блок остановится в одном
из крайних положений внутри области -А с < х " А.
На рис. 2.21, бив представлены графики зависимостей перемещения и
