Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(2-43)
Далее заметим, что максимальное перемещение массы, обусловленное заданной
начальной скоростью, равно сумме длины зазора хх и амплитуды упомянутого
выше гармонического движения:
*м = *1 + -у = *1 + *о Y1Г' (2'44)
Изменение во времени перемещения и скорости при колебаниях системы без
демпфирования показано на рис. 2.16, виг. Отметим, что скорость на
последнем рисунке является постоянной, несмотря на то, что масса не имеет
контакта с одной из пружин.
Для заданных значений величины зазора xlt массы т и жесткости пружины k
период колебаний т [см. формулу (2.43)] зависит только от начальной
скорости х0. Когда величина ха приближается к нулю, период колебаний
стремится к бесконечности, а когда скорость становится бесконечно
большой, период колебаний принимает значения 2п/р. На рис. 2.16, д
представлен график колебаний для этих случаев, из которого видно, что
подобная система будет стремиться войти в резонанс с возмущающей силой,
описываемой произвольной периодической функцией, имеющей период больший
или равный 2п/р. Однако амплитуда таких вынужденных колебаний будет
всегда иметь верхний предел, за исключением случая, когда период функции,
описывающей возмущающую силу или одну из ее гармонических компонент,
равен 2л/р.
Предположим теперь, что система на рис. 2.16, а первоначально находится в
покое и на нее воздействует возмущающая сила в виде ступенчатой функции,
показанной на рис. 2.16, е. При действии постоянной силы Qn ускорение
массы при прохождении через зазор будет qn - QJm. Тогда скорость и
перемещение соответственно составят
x = qnt\ x = qnt2/2. (в)
Последнее выражение представляет собой параболу на отрезке от t - 0 до t
- tx графика зависимости перемещения от времени (рис. 2.16, ж), а
предыдущее выражение есть уравнение прямой линии на том же самом отрезке
графика скорости (рис. 2.16, з). В этом случае время, необходимое для
того, чтобы масса прошла зазор хъ
166
а скорость в момент времени t1
Х\ == Qik == V 2<у(1х,1. (д)
Когда происходит соприкосновение массы с правой пружиной, масса имеет
начальную скорость хъ и тогда реакцию системы на отрезке времени t1 с t <
t2 можно представить в следующем виде:
х = Х! + sinp(t-ti) + -J41 - cos p (t -^)], (e)
где второе слагаемое в правой части обусловлено влиянием начальной
скорости хъ а последнее слагаемое характеризует влияние возмущающей силы.
Эти два слагаемых представлены штриховыми линиями на отрезке t1 с t < t2
(см. рис. 2.16, ж), а график суммы всех трех слагаемых показан сплошной
жирной линией. Продифференцировав выражение (е), найдем, что в момент
времени
(" = /, +-i-arctg (-*?) ,2.45)
максимальное перемещение
АГ" = АГ,Т^+/($У+(ФУ. (2.46)
Поскольку указанная кривая симметрична относительно времени tM, то в
значение х1 она приходит также и в момент времени tiy что дает
U = 2 tM - ty. (ж)
Затем масса выходит из контакта с правой пружиной и на отрезке t2 < t с
it график ее движения представляет параболу (см. рис. 2.16, ж). Эта
парабола симметрична относительно точки, соответствующей времени t3.
Тогда для этого отрезка времени можно записать
U = к + к, *4 = *2 + %к (з)
В момент времени 14 масса вновь входит в контакт с правой пружиной и
вновь повторяется описанное выше перемещение. Соответствующая зависимость
скорости движения от времени приведена на рис. 2.16, з, где можно видеть,
что эта зависимость является линейной тогда, когда масса не находится в
контакте с пружиной.
Если в момент времени tn постоянная сила Qn внезапно удаляется из системы
(см. рис. 2.16, е), то будем иметь прямоугольный импульс вместо
ступенчатой функции. В момент времени tn система имеет некоторое
перемещение хп и некоторую скорость хп, которые можно определить из
графиков на рис. 2.16, ж и з. Используя эти величины в качестве начальных
условий, можно определить последующее поведение системы при свободных
колебаниях, поступая точно так же, как при построении графиков на рис.
2.16, виг.
В качестве второго примера кусочно-линейной упругой системы рассмотрим
установку симметричной конструкции на рис. 2.17, а.
167
Эта система похожа на изображенную на рис. 2.16, а, но в ней имеются
дополнительные пружины, дающие восстанавливающую силу при любом отличном
от нуля перемещении от среднего положения. Статическая диаграмма
зависимости нагрузки от перемещения для этого случая показана на рис.
2.17, б, где прямая, выходящая из начала координат, имеет тангенс угла
наклона, равный klt а у прямых с большим углом наклона тангенс этого угла
равен й2. Если перемещение системы никогда не превышает +xlt движение
будет простым гармоническим, но если перемещения по величине превышают
лу, характер движения становится более сложным.
Для того чтобы изучить характеристики этой системы при свободных
колебаниях, предположим, что в момент времени t = О начальное перемещение
массы равно нулю, но имеется начальная скорость х0 > рххъ где рх = Уkjт.
При такой скорости масса будет перемещаться дальше точки хъ и тогда
